不求甚解学经济-不动点定理（三）布劳威尔不动点定理 Brouwer's Fixed Point Theorem

这一部分是布劳威尔不动点定理，下次是从Brouwer到Kakutani。

定理：

从非空紧凸集射到此集自身的连续函数具有不动点。

即：

$X\in\mathbb R^{n}$ 为一个非空紧凸集，而$f:X\rightarrow X$ 为连续函数，则存在$x\in X$使得$f(x)=x$。

证明：

Step1.

在最简单的非空紧凸集即单纯形$\Delta$上证明。

设任意连续函数$h:\Delta\rightarrow\Delta$。

任取$x\in\Delta$，将其写成重心坐标形式即$x=\sum x_{i}v_{i}$，其中$v_{i}$为第$i$个顶点，$x_{i}$为系数。(记得n维单纯形为n+1个仿射无关的顶点之凸组合)，$h:\Delta\rightarrow\Delta$，而$h(x)=\sum h_{i}(x) v_{i}$。满足$\sum x_{i}=\sum h_{i}(x)=1$。

将$F_{i}$定义为$\lbrace x\in\Delta:h_{i} (x)\leq x_{i} \rbrace =\lbrace x\in\Delta:h_{i} (x)-x_{i} \leq 0 \rbrace $。意即$F_{i}$由那些被$h$射之后比被射之前在第$i$顶点方向上更靠近重心的点组成。

而根据设定，$h​$在$\Delta​$上连续，且$x​$在$\Delta​$上连续，从而$h_{i}(x)-x_{i}​$在$\Delta​$上连续。而某函数$f​$在定义域上连续等价于其不好集$\lbrace x\in X:f(x)\leq c \rbrace ​$及不差集$\lbrace x\in X:f(x)\geq c \rbrace ​$为闭集，因此$F_{i}​$对每个$i​$均为闭集。

Claim

$\forall i_{0},...,i_{k},(k=0,...,n)$有$co(V_{i1},…,V_{ik})\in\bigcup_{i}F_{i}$。

即从顶点中任选一组顶点（也可以所有顶点都选），这组被选中的点构成的凸包要在那些闭集$F_{i}$的闭之中。这一步是为了应用KKM lemma。证明：if not，即在凸包中存在一点不满足$F_{i}$的定义，即不满足$h_{i}(x)\geq x_{i}$而相反却是$h_{i}(x)<x_{i},\forall i$，将会得到$1=\sum x_{i}<\sum h_{i}(x)=1$，矛盾。

故而，适用KKM lemma，$\exists x^{\ast}\in\Delta,s.th.x^{\ast}\in\cap F_{i}$ ，即满足$\forall i$有$h_{i}(x^{\ast})\leq x_{i}^{\ast}$，但$1=\sum x_{i}^{\ast}\leq\sum h_{i}(x^{\ast})=1$，因此只能为$x_{i}^{\ast}=h_{i}(x^{\ast}),∀i$，即$h(x^{\ast})=x^{\ast}$。

Step2.

令$X$为欧氏空间中非空紧凸集。$f:X\rightarrow X$为连续函数。

[同胚]

$X$与$\Delta$为同胚，若存在$g: X\rightarrow\Delta$，$g^{-1}:\Delta\rightarrow X$，且$g$与$g^{-1}$均为连续函数。

$h:\Delta\rightarrow\Delta,h(x)=g(f(g^{-1}(x)))$，因为$g$、$f$、$g^{-1}$均为连续函数，因此$h$亦连续，根据Step1，$h$存在不动点，即$h(x^{\ast})=g(f(g^{-1}(x^{\ast})))$，亦即$f(g^{-1}(x^{\ast}))=g^{-1}(x^{\ast})$，但这就意味着$g^{-1}(x^{\ast})$是$f$的不动点。$\square$