这一部分是KKM引理。

设 $F_{0}, F_{1},…, F_{n}$ 是 $n+1$ 维单纯形 $\Delta$ 中的 $n+1$ 个闭集。

标号集 $I=\lbrace 0,1,…, n \rbrace$ ， $I_{0}\in\mathscr P(I)$ （即 $I_{0}\subset I$ ）， $I_{0}$ 是来自于标号集的一组标号。

定理

KKM lemma：如果任意选择的 $I_{0}$ 的凸包都在 $\bigcup_{i}F_{i}$ 里，那么 $\bigcap_{i}F_{i}$ 是非空的。

证明

因为 $I_{0}$ 是任选的，我们需要考虑所有的 $I_{0}$ 。先考虑最大的 $I_{0}$ ，即用上 $0,1,…,n$ 全部的标号。那么 $I_{0}$ 的凸包恰好就是单纯形的定义。所以单纯形 $\Delta=\bigcup_{i}F_{i}$ ，此时 $\bigcup_{i}F_{i}$ 关于 $i=0,...,n$ 。

然后考虑小 $I_{0}$ 们，即母单纯形 $\Delta$ 的剖分中小子形（包括边界上的低维子形）的顶点。对 $\Delta$ 作越来越细致的剖分。细致程度从 $2,3,…$

如果某个小子形的顶点在原来母 $\Delta$ 的边界上，则根据假设条件，这个小顶点存在于由 $\Delta$ 边界母顶点所确定的凸包里，也就属于 $\bigcup_{i}F_{i}$ 里。如果它属于 $\bigcup_{i}F_{i}$ ，那么它至少属于其中一个 $F_{i}$ 。我们把这个 $F_{i}$ 的标号作为小顶点的标号。而如果小格子的顶点在母 $\Delta$ 的内部，那么同样，至少存在于某个 $F_{i}$ 里，根据同样的方式，把那个 $F_{i}$ 的标号最为小顶点的标号。

根据这种方式所做的标号，只能来源于 $\Delta$ 边界上的顶点，而不会来自于对面的顶点。因此满足Sperner所要求的标号方法。根据Sperner’s lemma，存在奇数个完全标号的小子形。

每种细致程度的剖分，只要满足上述标号方式，都可以应用Sperner’s lemma 知存在奇数个完全标号的小子形。只不过剖分越细致，小子形越小。

从每次剖分剖出来的完全标号小子形里任意选择一个，把他的0标号顶点（选别的顶点也一样）作为序列的一项，把这些越来越小的子单纯形的顶点放成一个序列。而 $\Delta$ 为单纯形，是（同维度中）最简单的非空紧凸集（是 $n+1$ 个仿射无关点的凸包）。紧集里，任意序列定有收敛子列。把这个收敛子列称为 $x_{\alpha}$ 。 $x_{\alpha}$ 收敛于一点，我们称这点为 $x$ 点。

而越剖越小，小子形的顶点之间彼此越来越接近。如果0标号的顶点收敛于 $x$ 点，那么随着越剖越小，小子形的每个顶点都收敛于 $x$ 点。而这些顶点序列中的每一项都属于一个 $F_{i}$ 里，根据每个 $F_{i}$ 闭集的性质，闭集中序列的极限点都在这个闭集里，因此至少有 $x$ 这点作为 $x_{\alpha}$ 的极限点存在于每一个 $F_{i}$ 里。所以 $\bigcap_{i}F_{i}$ 非空。 $\square$

完事了。下次是从 KKM lemma 到 Brouwer，终于要不动了。