不求甚解学经济-不动点定理（四）角谷静夫不动点定理 Kakutani's Fixed Point Theorem

这一部分是角谷静夫不动点定理。

Brouwer适用于函数，Kakutani适用于一般意义上的对应，这种对应又称为「集值函数」。「对应」 $C:X\Rightarrow Y$，取值为$Y$的某子集。也可视为函数$F:X\rightarrow\mathcal{P}(Y)$，其中$\mathcal{P}(Y)$为$Y$的幂集。

［引理］ 若$X=A\cup B$（但不要求$A\cap B=\varnothing$），$f:A\rightarrow Y$；$g:B\rightarrow Y$；$h:X\rightarrow Y$，而$f(x)$在那些$x\in A$连续，$g(x)$在那些$x\in B$连续，且$f(x)=g(x)$当$x\in A\cap B$。定义$h(x)=f(x)$当$x\in A$；$h(x)=g(x)$当$x\in B$,
则$h(x)$在$X$连续。

「Kakutani 不动点定理」$X$为欧氏空间中非空紧凸集，$C:X\Rightarrow Y$有闭图（即$Graph C=\lbrace (x,y)\in X\times Y:y\in C(x) \rbrace$为闭集），且任给$x\in X$有$C(x)$为非空闭凸集。则存在$x^{\ast}\in X$，使得$x^{\ast}\in C(x^{\ast})$。

［证明］

先在单纯形上证明。

①对单纯形$\Delta$做$k$次重心剖分。将第$k$次剖分所得到的顶点们记为$V\_{0}(k), V\_{1}(k),…,V\_{n}(k)$。

②构造引理中所使用的函数$h(x)$。

将顶点集合$\lbrace V\_{0}(k), V\_{1}(k),…,V\_{n}(k) \rbrace$定义为引理中所需要的$A$。将$co(V\_{0}(k),V\_{1}(k),…V\_{n}(k))$定义为引理中所需要的$B$。

任选$x\_{n}$，若$x\_{n}\in\lbrace V\_{0}(k), V\_{1}(k),…V\_{n}(k) \rbrace$，因$C(x\_{n})$取值为一个集合，则从集合中任选一个$y\in C(x\_{n})$，并定义$f(x\_{n})=y$。因$C$为闭图，意即$Graph C=\lbrace (x,y):y\in C(x) \rbrace$为闭集。也就是说取序列$\lbrace x\_{k} \rbrace\_{k}$和$\lbrace y\_{k} \rbrace\_{k}$，若$x\_{k}\rightarrow x$，$y\_{k}\rightarrow y$，且$(x\_{k},y\_{k})\in Graph C$（即$y\_{k}\in C(x\_{k})$），则有$(x,y)\in Graph C$（即$y\in C(x)$）。因此，当$x\_{k}\rightarrow x$且$y\_{k}\rightarrow y$，我们定义的函数$f(x\_{k})=y\_{k}$满足$f(x)=y$。而这就表示$f$为连续函数。

若$x\_{n}\in co(V\_{0}(k),V\_{1}(k),…,V\_{n}(k))$，则将其表示为$x\_{n}=\sum\_{i}θ\_{j}V\_{j}(k)$，亦即$x\_{n}$可以表示为顶点$V\_{j}(k)$们的凸组合，定义$g(x\_{n})=\sum\theta\_{j}g\_{j}(V\_{j}(k))$，而$g\_{j}(V\_{j}(k))=f(V\_{j}(k))$。即通过将单纯形内任一点表示成顶点们的凸组合，我们便可以使用上一步中仅作用于顶点的函数$f$来表示未必是顶点的任意一个$x\_{n}$，而为表示区别，此时的$f$记为$g\_{j}$。而$g$是连续函数$g\_{j}$的凸组合，仍然为连续函数。

定义$h$为引理中所要求的样子，即：若$x\in A$则$h(x)=f(x)$，若$x\in B$则$h(x)=g(x)$。且易知若$x\in A\cap B$，则依据前述方式定义有$g(x)=f(x)$，此时这两种定义方式是一致的。

故而根据Brouwer，存在$x\_{n}^{\ast}$使得$x\_{n}^{\ast}=h(x\_{n}^{\ast})$。

③因各 $θ\_{j}$ 在 $[0,1]$中，根据Bolzano-Weierstrass定理 “紧集中的实序列必有收敛子列”。取序列$\lbrace θ\_{j\_{k}} \rbrace\_{k}$收敛于$θ\_{j}^{\ast}$。其中序列的第$k$项均取自相应的第$k$次剖分。

同理，各$h(V\_{j})$在$△$中，可取$\lbrace h\_{k}(V\_{j\_{k}}) \rbrace\_{k}$收敛于$y\_{j^{\ast}}$。

而当剖分细致程度越来越高，即$k\rightarrow\infty$时（为了便于理解，此处可以视之为，随着越剖越细每个小子形的面积趋近于$0$），有$\lbrace V\_{j\_{k}} \rbrace\_{k}$以及$\lbrace x\_{k} \rbrace\_{k}$收敛于同一个$x^{\ast}$。

④当每一项$(V\_{j\_{k}},h\_{k}(V\_{j\_{k}}))\in Graph C$，已知C有闭图，则极限$(x^{\ast}, y\_{j}^{\ast})\in Graph C$，即$y\_{j}^{\ast}\in C(x^{\ast})$。

而$x^{\ast}=h(x^{\ast})=\sum\_{j}θ\_{j}^{\ast}y\_{j}^{\ast}$，其中$y\_{j}^{\ast}\in C(x^{\ast})$。这就意味着$x^{\ast}\in coC(x^{\ast})$，但已知$C$为凸值的，因而$coC(x^{\ast})=C(x^{\ast})$。即得$x^{\ast}\in C(x^{\ast})$。

在单纯形上得证。

将其推广到一般的非空紧凸集时，步骤与Brouwer类似，暂略。$\square$

脱胎于：

Border K C. Fixed point theorems with applications to economics and game theory[M]. Cambridge university press, 1989.

Ichiishi T. Game theory for economic analysis[M]. Elsevier, 2014.

俞建. 博弈论与非线性分析[M]. 科学出版社, 2008.