不求甚解學經濟-可測最大值定理

可測最大值定理

預備

定義：可分空間

具有可數稠密子集的空間被稱爲可分空間。例如實數係為可分空間，其可數稠密子集為有理數集。

定義：可度量化空間

給定一個拓撲空間，如果可以找到某個度量，使得該度量所引致的拓撲恰好就是該拓撲空間所配備的拓撲，則稱該拓撲空間為可度量化空間。

定義：上逆/強逆

給定一個對應 $\phi:S\Rightarrow X$，定義其上逆為 $\phi^{u}$ 為對於任何 $A\subset X$，$\phi^{l}(A)=\left\{s\in S:\phi(s)\subset A\right\}$。

定義：下逆/弱逆

給定一個對應 $\phi:S\Rightarrow X$，定義其下逆為 $\phi^{l}$ 為對於任何 $A\subset X$，$\phi^{l}(A)=\left\{s\in S:\phi(s)\cap A\neq\emptyset\right\}$。

定義：弱可測對應

一個對應 $\phi:S\Rightarrow X$，如果對於任何開集 $G\subset X$，其弱逆 $\phi^{l}$ 是可測的即 $\phi^{l}(G)\in\Sigma$，則稱這個對應是弱可測對應。

定義：乘積 $\sigma$ 代數

給定一族空間 $X_{i}$ 對於 $i=1,...,n$ 及相應的 $\sigma$ 代數 $\Sigma_{i}$，則乘積 $\sigma$ 代數 $\bigotimes_{i}\Sigma_{i}$ 定義爲由可測“矩形” $\times_{i}\Sigma_{i}$ 生成的 $\sigma$ 代數。

例如，對於 $X_{1}=X_{2}=\mathbb{R}$ 來説，其可測矩形真的就是矩形，例如取區間 $(a_{1},b_{1})\subset X_{1}$ 和區間 $(a_{2},b_{2})\subset X_{2}$，這個矩形就是以 $a_{1},a_{2},b_{1},b_{2}$ 為四個頂點的矩形，但由矩形們構成的集合族并不滿足 $\sigma$ 代數的要求，所以在 $\mathbb{R}^{2}$ 上的乘積 $\sigma$ 代數是由這些矩形們生成的 $\sigma$ 代數而不是這些矩形們本身。

定義：Caratheodory 函數

給定可測空間 $(S,\Sigma)$ 和拓撲空間 $X$，一個函數 $f:S\times X\rightarrow\mathbb{R}$ 是 Caratheodory 函數如果：

• 對於任何 $x\in X$，函數 $f^{x}:=f(\cdot,x):S\rightarrow\mathbb{R}$ 是 $(\Sigma,\mathscr{B}_{\mathbb{R}})$ 可測的，其中 $\mathscr{B}_{\mathbb{R}}$ 是 $\mathbb{R}$ 上的 Borel $\sigma$ 代數。
• 對於任何 $s\in S$，函數 $f_{s}:=f(s,\cdot):x\rightarrow\mathbb{R}$ 是連續函數。

定義：聯合可測

給定三個可測空間 $(S,\Sigma)$、$(X,\mathscr{B}_{X})$ 和 $(\mathbb{R},\mathscr{B}_{\mathbb{R}}$，如果函數 $f:S\times X\rightarrow\mathbb{R}$ 是 $(\Sigma\bigotimes\mathscr{B}_{X},\mathscr{B}_{\mathbb{R}})$ 可測的，則稱函數 $f$ 是聯合可測的。

定義：可測選擇

給定一個對應 $\mu:S\Rightarrow X$，如果存在某個單值可測函數 $g:S\rightarrow X$，使得對於每個 $s\in S$ 都有 $g(s)\in\mu(s)$，則稱 $g$ 是 $\mu$ 的一個可測選擇。

引理 1

給定可分可度量化空間 $X$，給定可測空間 $(S,\Sigma)$。一個對應 $\phi:S\Rightarrow X$ 為有非空緊值得弱可測對應，當且僅當存在一個可測選擇序列 $\left\{g_{n}\right\}$，使得對於任何 $s\in S$ 都有 $\phi(s)=\bar{\left\{g_{1}(s),g_{2}(s),...\right\}}$。

證明：待補充。

引理 2

Caratheodory 函數是聯合可測的。

證明：待補充。

引理 3

可測函數們的複合函數也是可測函數。

證明：待補充。

Filippov 隱函數定理

給定可分可度量化空間 $X$，給定可測空間 $(S,\Sigma)$。令 $\phi:S\Rightarrow X$ 為有非空緊值得弱可測對應，及 $f:S\times X\rightarrow\mathbb{R}$ 為 Caratheodory 函數。令可測函數 $\pi:S\rightarrow\mathbb{R}$ 為對於任何 $s\in S$ 都存在某個 $x\in\phi(s)$ 使得 $\pi(s)=f(s,x)$，則對應 $\gamma:S\Rightarrow X$ 定義爲

$$\gamma(s)=\left\{x\in\phi(s):f(s,x)=\pi(s)\right\}$$

是可測對應。并且可測對應 $\gamma$ 擁有可測選擇函數，即存在某個可測函數 $\xi:S\rightarrow X$ 滿足 $\xi(s)\in\gamma(s)$ 這個 $\xi$ 是 $\gamma$ 之選擇的條件，以及繼承了 $\gamma$ 本身的性質 $pi(s)=f(s,\xi(s))$ 對於每個 $s\in S$ 都成立。

證明：待補充。

可測最大值定理

給定可分可度量化空間 $X$，給定可測空間 $(S,\Sigma)$。令 $\phi:S\Rightarrow X$ 為有非空緊值得弱可測對應，及 $f:S\times X\rightarrow\mathbb{R}$ 為 Caratheodory 函數。定義值函數 $m:S\rightarrow\mathbb{R}$ 為

$$m(s):=\max_{x\in\phi(x)}f(s,x)$$

解對應 $\mu:S\Rightarrow X$ 為

$$\mu(s):=\left\{x\in\phi(x):f(s,x)=m(s)\right\}$$

則：

• 值函數 $m$ 為可測函數
• 解對應 $\mu$ 有非空緊值
• 解對應 $\mu$ 為可測對應，並具有可測選擇

可測最大值定理：證明

根據 Berge 最大值定理，值函數 $m$ 是定義良好的，并且解對應 $\mu$ 具有非空緊值。

根據引理 1，由假設 $\phi:S\Rightarrow X$ 為有非空緊值的弱可測對應可知，存在可測選擇函數序列 $\left\{g_{n}\right\}$ 使得對於每個 $s\in S$ 都有 $\phi(s)=\bar{\left\{g_{1}(s),g_{2}(s),...\right\}}$。

據此定義向量值汎函 $h_{n}:S\rightarrow S\times X$ 為 $h_{n}(s):=(s,g_{n}(s))$，則對於每個 $n$ 來説 $h_{n}$ 都是 $(\Sigma,\Sigma\bigotimes\mathscr{B}_{X})$ 可測的。

由於 $f$ 是 Caratheodory 函數，根據引理2，$f$ 是 $(\Sigma,\mathscr{B}_{X})$ 聯合可測的，又 $h_{n}$ 都 $(\Sigma,\Sigma\bigotimes\mathscr{B}_{X})$ 可測的，因此根據引理 3 其複合 $f\circ h_{n}$ 是 $\Sigma$ 可測的。又

$$\begin{aligned} m(s)=&\max_{x\in\phi(s)}f(s,x)\\ =&\sup_{n\in\mathbb{N}}f(s,g_{n}(s))\\ =&\sup_{n\in\mathbb{N}}f(h_{n}(s))\\ =&\sup_{n\in\mathbb{N}}\lbrack f\circ h_{n}\rbrack(s) \end{aligned}$$

所以 $m:S\rightarrow\mathbb{R}$ 是 $\Sigma$ 可測的。從而根據 Filippov 隱函數定理，解對應 $\mu:S\Rightarrow X$ 是可測對應，并且擁有可測選擇函數，即存在某個單值可測函數 $\xi:S\rightarrow X$ 滿足對於每個 $s\in S$ 都有 $\xi(s)\in\mu(s)$，當然 $\xi$ 也繼承了 $\mu$ 的性質，即對於每個 $s$ 來說 $\xi(s)$ 都是原問題的最大解。