一些簡單的單調比較靜態分析

某些預備知識可參見不動點定理（六）塔斯基不動點定理 Tarski’s Fixed Point Theorem 及其他

例如：

Def 強集序

給定格 (X,≥for elements)(X,\geq_{\text{for elements}}) ，對於任何子集 A,B⊂XA,B\subset X，定義強集序 ≥for sets\geq_{\text{for sets}} 為

A≥for setsB iff (∀x∈A,y∈B)[y≥for elementsx⇒(x∈B) and (y∈A)]A\geq_{\text{for sets}} B\text{ iff } (\forall x\in A,y\in B)[y\geq_{\text{for elements}} x\Rightarrow (x\in B)\text{ and }(y\in A) ]

此處關於序關係的下標是爲了明確表明是應用於元素還是集合，但通過語境可以做出此種區分，因此後文將不再明確寫出。

對於來自於同一個格的兩個子集來説，一個子集“大”與另一個子集等價於任選一對元素，其中更“大”的元素來自更“大”的集合，更“小”的元素來自更“小”的集合。

但這并不意味著，從更“大”的集合中任選一個元素，從更“小”的集合中任選一個元素，前一個元素一定“大於”后一個元素。但確實意味著，更“大”的集合中的“最大元”一定“大於”更“小”集合中的“最大元”，并且更“大”集合中的“最小元”一定“大於”更“小”集合中的“最小元”，即：強集序只能保證極端元素的排序關係，更不能保證其中每個元素的排序關係，這也是爲什麽在超模博弈中，只有極端納什均衡具有單調比較靜態關係，但無法保證任意納什均衡具有單調比較靜態關係。

先考慮簡單情況

【簡單情況】選擇空間 X⊂RX\subset\mathbb{R}，參數空間 Θ⊂R\Theta\subset\mathbb{R}，函數 ϕ:X×Θ→R\phi:X\times\Theta\rightarrow\mathbb{R}

單交叉條件

如果任給 x′>xx^{\prime}>x 和 θ′>θ\theta^{\prime}>\theta 函數 ϕ\phi 滿足下式，則稱 ϕ\phi 關於 (x,θ)(x,\theta) 滿足單交叉條件

ϕ(x′,θ)≥ϕ(x,θ)⇒ϕ(x′,θ′)≥ϕ(x,θ′)\phi(x^{\prime},\theta)\geq\phi(x,\theta)\Rightarrow\phi(x^{\prime},\theta^{\prime})\geq\phi(x,\theta^{\prime})

以及

ϕ(x′,θ)>ϕ(x,θ)⇒ϕ(x′,θ′)>ϕ(x,θ′)\phi(x^{\prime},\theta)>\phi(x,\theta)\Rightarrow\phi(x^{\prime},\theta^{\prime})>\phi(x,\theta^{\prime})

解讀：如果我們將函數 ϕ\phi 視爲效用函數，xx 視爲消費數量，θ\theta 視爲消費者個人特質，那麽單交叉條件意味著，對於給定的兩組消費束 xx 和 x′x^{\prime}，如果具有個人特質 θ\theta 的消費者偏好消費束 x′x^{\prime} 勝過消費束 xx，那麽任何具有更高個人特質 θ′>θ\theta^{\prime}>\theta 的消費者同樣偏好消費束 x′x^{\prime} 勝過消費束 xx。

注意，函數關於 (x,θ)(x,\theta) 滿足單交叉條件不同於函數關於 (θ,x)(\theta,x) 滿足單交叉條件。在前例中，效用函數關於 (θ,x)(\theta,x) 滿足單交叉條件則意味著我們在做人際閒比較。即

ϕ(θ′,x)≥ϕ(θ,x)⇒ϕ(θ′,x′)≥ϕ(θ,x′)\phi(\theta^{\prime},x)\geq\phi(\theta,x)\Rightarrow\phi(\theta^{\prime},x^{\prime})\geq\phi(\theta,x^{\prime})

即對於給定的兩個消費者，分別具有個人特質 θ\theta 和 θ′>θ\theta^{\prime}>\theta，如果在消費束 xx 下消費者 θ′\theta^{\prime} 的福祉高於消費者 θ\theta 的福祉，那麽在任何消費束 x′>xx^{\prime}>x 下消費者 θ′\theta^{\prime} 的福祉仍然高於消費者 θ\theta 的福祉。

一般來説，我們要求前一種單交叉條件：給定一組選擇變量，比較不同參數所帶來的區別。

增差

如果任給 x′>xx^{\prime}>x 和 θ′>θ\theta^{\prime}>\theta 函數 ϕ\phi 滿足下式，則稱 ϕ\phi 關於 (x,θ)(x,\theta) 滿足增差條件

ϕ(x′,θ′)−ϕ(x,θ′)≥ϕ(x′,θ)−ϕ(x,θ)\phi(x^{\prime},\theta^{\prime})-\phi(x,\theta^{\prime})\geq\phi(x^{\prime},\theta)-\phi(x,\theta)

或等價地

ϕ(x′,θ′)−ϕ(x′,θ)≥ϕ(x,θ′)−ϕ(x,θ)\phi(x^{\prime},\theta^{\prime})-\phi(x^{\prime},\theta)\geq\phi(x,\theta^{\prime})-\phi(x,\theta)

或在當前設定下 (X⊂RX\subset\mathbb{R} 和 Θ⊂R\Theta\subset\mathbb{R}) 等價地意味著超模性

ϕ(x′,θ′)+ϕ(x,θ)≥ϕ(x′,θ)+ϕ(x,θ′)\phi(x^{\prime},\theta^{\prime})+\phi(x,\theta)\geq\phi(x^{\prime},\theta)+\phi(x,\theta^{\prime})

單交叉與增差的關係

假設函數 ϕ\phi 對於任意 x′>xx^{\prime}>x 和 θ′>θ\theta^{\prime}>\theta 滿足

ϕ(x′,θ′)−ϕ(x,θ′)≥ϕ(x′,θ)−ϕ(x,θ)\phi(x^{\prime},\theta^{\prime})-\phi(x,\theta^{\prime})\geq\phi(x^{\prime},\theta)-\phi(x,\theta)

但存在某個 x′′>xx^{\prime\prime}>x 和 θ′′>θ\theta^{\prime\prime}>\theta 卻使得

ϕ(x′′,θ)≥ϕ(x,θ)\phi(x^{\prime\prime},\theta)\geq\phi(x,\theta)

ϕ(x′′,θ′′)<ϕ(x,θ′′)\phi(x^{\prime\prime},\theta^{\prime\prime})<\phi(x,\theta^{\prime\prime})

則

ϕ(x′′,θ′′)−ϕ(x,θ′′)≥ϕ(x′′,θ)−ϕ(x,θ)≥ϕ(x,θ)−ϕ(x,θ)=0\begin{aligned}\phi(x^{\prime\prime},\theta^{\prime\prime})-\phi(x,\theta^{\prime\prime})&\geq\phi(x^{\prime\prime},\theta)-\phi(x,\theta)\\ &\geq\phi(x,\theta)-\phi(x,\theta)\\ &=0 \end{aligned}

但

ϕ(x′′,θ)−ϕ(x,θ)≤ϕ(x′′,θ′′)−ϕ(x,θ′′)<ϕ(x,θ′′)−ϕ(x,θ′′)=0\begin{aligned} \phi(x^{\prime\prime},\theta)-\phi(x,\theta)&\leq\phi(x^{\prime\prime},\theta^{\prime\prime})-\phi(x,\theta^{\prime\prime})\\ &<\phi(x,\theta^{\prime\prime})-\phi(x,\theta^{\prime\prime})\\ &=0 \end{aligned}

即 0<00<0，矛盾。

因此增差可以推出單交叉，即增差的要求要 weakly stronger than 單交叉條件的要求。

但增差是基數條件，單交叉是序數條件：單交叉可在單調增變換下保持，而增差 (或超模) 不能。(待補充)

超模與增差的關係

給定偏序集們 (Xi,≥i)i∈Nfinite(X_{i},\geq_{i})_{i\in N^{\text{finite}}}，定義偏序集 X:=Πi∈NfiniteXiX:=\Pi_{i\in N^{\text{finite}}}X_{i}，以及對於 x,y∈Xx,y\in X

x≥y iff xi≥iyi,∀ix\geq y\text{ iff }x_{i}\geq_{i}y_{i},\forall i

則稱 (X,≥)(X,\geq) 為乘積格。

關係：函數 ϕ\phi 在 (X,≥)(X,\geq) 上的超模性，等價於兩個條件的結合：函數 ϕ\phi 滿足增差；函數 ϕ\phi 在任選一對維度 i,j∈Nfinitei,j\in N^{\text{finite}} 上滿足超模性。當 (X,≥)(X,\geq) 為 RN\mathbb{R}^{N} 時，前述三個條件互相等價。

更具有廣汎性的情況

選擇空間為格 (X,≥)(X,\geq)，參數空間為偏序集 (Θ,≥)(\Theta,\geq)

單調性

汎函 f:Θ→Xf:\Theta\rightarrow X 被稱爲弱遞增函數，如果滿足下式

θ′≥θ⇒f(θ′)≥f(θ)\theta^{\prime}\geq\theta\Rightarrow f(\theta^{\prime})\geq f(\theta)

對應 ϕ:Θ⇒X\phi:\Theta\Rightarrow X 被稱爲弱遞增對應 (或弱遞增的集值函數)，如果滿足下式

θ′≥θ⇒f(θ′)≥強集序f(θ)\theta^{\prime}\geq\theta\Rightarrow f(\theta^{\prime})\geq_{\text{強集序}} f(\theta)

定義：序拓撲

對於完備格 (X,≥)(X,\geq)，根據完備的定義，對於任何單調 (增或減) 序列 xnx_{n} 來説

sup⁡{xn;n∈N}∈X\sup\left\{x_{n};n\in\mathbb{N}\right\}\in X

inf⁡{xn;n∈N}∈X\inf\left\{x_{n};n\in\mathbb{N}\right\}\in X

定義關於完備格 (X,≥)(X,\geq) 來説的序拓撲為滿足下式的最弱拓撲

∀xn with xn+1≥xn,lim⁡xn=sup⁡xn\forall x_{n}\text{ with }x_{n+1}\geq x_{n},\lim x_{n}=\sup x_{n}

∀xn with xn+1≤xn,lim⁡xn=inf⁡xn\forall x_{n}\text{ with }x_{n+1}\leq x_{n},\lim x_{n}=\inf x_{n}

定義：在序拓撲下的連續函數

給定完備格 (X,≥)(X,\geq) 和一個拓撲空間 YY，稱汎函 f:X→Yf:X\rightarrow Y 在相應于 (X,≥)(X,\geq) 的序拓撲下為連續汎函，如果對於任何單調 (遞增或遞減) 的序列 xnx_{n} 來説，ff 滿足

lim⁡f(xn)=f(lim⁡xn)\lim f(x_{n})=f(\lim x_{n})

下面我們將介紹四個單調性定理，其中前兩個需要超模性 (基數性質) 假設，後兩個需要擬超模性和單交叉性 (均爲序數性質) 假設。

單調性定理 (一)：Topkis 單調性定理

給定格 (X,≥)(X,\geq) 、偏序集 (Θ,≥)(\Theta,\geq) 和超模函數 f:X×Θ→Rf:X\times\Theta\rightarrow\mathbb{R}，定義

X⋆(θ)=arg⁡max⁡x∈S(θ)f(x,θ)X^{\star}(\theta)=\arg\max_{x\in S(\theta)}f(x,\theta)

其中 S(θ)S(\theta) 為當參數為 θ\theta 時的約束集，如果 θ′≥θ\theta^{\prime}\geq\theta 并且 S(θ′)≥強集序S(θ)S(\theta^{\prime})\geq_{\text{強集序}} S(\theta)，則

X⋆(θ′)≥強集序X⋆(θ)X^{\star}(\theta^{\prime})\geq_{\text{強集序}}X^{\star}(\theta)

推論

如果對於任何 θ∈Θ\theta\in\Theta，S(θ)S(\theta) 都是子格，則 X⋆(θ)X^{\star}(\theta) 也是子格。

單調性定理 (二)

給定完備格 (X,≥)(X,\geq) 和超模函數 f:X→Rf:X\rightarrow\mathbb{R}，假設 ff 在相應于 (X,≥)(X,\geq) 的序拓撲下連續，則定於任何完備子格 SS

X⋆=arg⁡max⁡x∈Sf(x)X^{\star}=\arg\max_{x\in S}f(x)

也是個完備子格，并且 max⁡X⋆∈X⋆\max X^{\star}\in X^{\star} 和 min⁡X⋆∈X⋆\min X^{\star}\in X^{\star} 成立，即解集中存在最大最大元和最小最大元。

單交叉

給定格 (X,≥)(X,\geq) 和偏序集 (Θ,≥)(\Theta,\geq)，如果函數 f:X×Θ→Rf:X\times\Theta\rightarrow\mathbb{R} 對於任何 x′>xx^{\prime}>x 和 θ′>θ\theta^{\prime}>\theta 都滿足下式，則稱函數 ff 關於 (x,θ)(x,\theta) 滿足單交叉條件：

f(x′,θ)≥f(x,θ)⇒f(x′,θ′)≥f(x,θ′)f(x′,θ)>f(x,θ)⇒f(x′,θ′)>f(x,θ′)\begin{aligned} f(x^{\prime},\theta)\geq f(x,\theta)&\Rightarrow f(x^{\prime},\theta^{\prime})\geq f(x,\theta^{\prime})\\ f(x^{\prime},\theta)> f(x,\theta)&\Rightarrow f(x^{\prime},\theta^{\prime})> f(x,\theta^{\prime}) \end{aligned}

擬超模性

給定格 (X,≥)(X,\geq) 和偏序集 (Θ,≥)(\Theta,\geq)，如果函數 f:X×Θ→Rf:X\times\Theta\rightarrow\mathbb{R} 對於任何 x′>xx^{\prime}>x 和所有的 θ\theta 都滿足下式，則稱函數 ff 關於 xx 具有擬超模性：

f(x,θ)≥f(x∨x′,θ)⇒f(x∧x′,θ)≥f(x′,θ)f(x,θ)>f(x∨x′,θ)⇒f(x∧x′,θ)>f(x′,θ)\begin{aligned} f(x,\theta)\geq f(x\vee x^{\prime},\theta)&\Rightarrow f(x\wedge x^{\prime},\theta)\geq f(x^{\prime},\theta)\\ f(x,\theta)> f(x\vee x^{\prime},\theta)&\Rightarrow f(x\wedge x^{\prime},\theta)> f(x^{\prime},\theta) \end{aligned}

單調性定理 (三)

給定格 (X,≥)(X,\geq) 和偏序集 (Θ,≥)(\Theta,\geq)，如果函數 f:X×Θ→Rf:X\times\Theta\rightarrow\mathbb{R} 關於 xx 具有擬超模性，并且關於 (x,θ)(x,\theta) 滿足單交叉條件，則

X⋆(θ)=arg⁡max⁡x∈Xf(x,θ)X^{\star}(\theta)=\arg\max_{x\in X}f(x,\theta)

關於 θ\theta 在強集序意義上單調非遞減。

單調性定理 (四)

給定格 (X,≥)(X,\geq) 和偏序集 (Θ,≥)(\Theta,\geq)，如果函數 f:X×Θ→Rf:X\times\Theta\rightarrow\mathbb{R} 關於 xx 具有擬超模性，并且關於 (x,θ)(x,\theta) 滿足單交叉條件，并且優化域 SS 在強集序意義上單調非遞減，則

X⋆(θ,S)=arg⁡max⁡x∈Sf(x,θ)X^{\star}(\theta,S)=\arg\max_{x\in S}f(x,\theta)

關於 θ\theta 和 SS 在強集序意義上單調非遞減。

接下來我們給出解集關於參數或優化域具有單調性的必要條件。

單調性要求 (一)

給定格 (X,≥)(X,\geq) 、偏序集 (Θ,≥)(\Theta,\geq) 和函數 f:X×Θ→Rf:X\times\Theta\rightarrow\mathbb{R}。如果 X⋆(θ,S):=arg⁡max⁡x∈Sf(x,θ)X^{\star}(\theta,S):=\arg\max_{x\in S}f(x,\theta) 關於 θ\theta 在強集序意義上單調非遞減，其中 S⊂XS\subset X 形如 S={xˉ,xˉ′},xˉ′≥xˉS=\left\{\bar{x},\bar{x}^{\prime}\right\},\bar{x}^{\prime}\geq\bar{x} (即集合 SS 在給定序關係下為連通集)，則要求：

函數 f(x,θ)f(x,\theta) 關於 (x,θ)(x,\theta) 滿足單交叉條件。

單調性要求 (二)

給定格 (X,≥)(X,\geq) 、偏序集 (Θ,≥)(\Theta,\geq) 和函數 f:X×Θ→Rf:X\times\Theta\rightarrow\mathbb{R}。如果任意固定 θ\theta，X⋆(θ,S):=arg⁡max⁡x∈Sf(x,θ)X^{\star}(\theta,S):=\arg\max_{x\in S}f(x,\theta) 關於 SS 在強集序意義上單調非遞減，則要求：

函數 f(x,θ)f(x,\theta) 關於 xx 具有擬超模性。

接下來是解集關於參數或優化域具有單調性的充要條件。

Milgrom - Shannon 定理

給定格 (X,≥)(X,\geq) 、偏序集 (Θ,≥)(\Theta,\geq) 和函數 f:X×Θ→Rf:X\times\Theta\rightarrow\mathbb{R}。則如下兩命題等價：

  • X⋆(θ,S):=arg⁡max⁡x∈Sf(x,θ)X^{\star}(\theta,S):=\arg\max_{x\in S}f(x,\theta) 關於 tt 和 SS 在強集序意義上單調非遞減

  • 函數 ff 關於 xx 具有擬超模性，并且關於 (x,θ)(x,\theta) 具有單交叉性

證明：

根據單調性要求 (一) 和單調性要求 (二)，可知，X⋆(θ,S):=arg⁡max⁡x∈Sf(x,θ)X^{\star}(\theta,S):=\arg\max_{x\in S}f(x,\theta) 關於 tt 和 SS 在強集序意義上單調非遞減足以推出函數 ff 關於 xx 具有擬超模性，并且關於 (x,θ)(x,\theta) 具有單交叉性。所以我們只需要證明函數 ff 關於 xx 具有擬超模性，并且關於 (x,θ)(x,\theta) 具有單交叉性能夠推出解集關於參數和優化域單調非遞減。

【參考文獻】

  • SARVER, Todd. Microeconomic Theory Note. 2021 Version.