技術要求與經濟含義

  1. 用動態規劃的語言來説，爲使貝爾曼方程的解存在，可以通過施加布萊克維爾充分條件的辦法做到。這要求存在一個 0≤β<10\leq\beta<1，爲此我們尋找到了“相對於未來，人們更重視現在”這一經濟學解釋。

  2. 根據宇澤弘文平衡增長路徑定理，生產函數應該關於生產要素聯合滿足一次齊次性質（例如：關於資本和勞動力聯合規模報酬不變，但由於勞動力增長不能内生地跟上資本積纍的步伐，所以可以通過引入勞動增進形技術進步以使資本積纍内生地跟上外生技術進步的步伐來實現外生經濟增長）但是在完全競爭情形下，一次齊次生產函數最優化一節條件的雅可比行列式為0（即 FKKFLL−(FKL)2=0F_{KK}F_{LL}-(F_{KL})^2=0），所以無法根據一節條件分別地給出資本需求和勞動力需求（隱函數定理的條件不滿足），而只能給出資本需求和勞動力需求之比，最終導致我們需要分析人均形式。

  3. 綫性函數會有 Bang-Bang solution 這一問題，因爲當控制變量以綫性形式進入目標函數時，控制變量將會在一節條件中消失，因此需要額外的條件來確定控制變量的取值。這一問題體現在資本積纍的動態方程中，最優投資路徑是不確定的，能確定的只有穩態下的最優穩態投資恰好抵補折舊或有效折舊。解決這一問題的方法比如引入凸性調整成本。

  4. 鞍點路徑這一“半穩定性質”同時給出了理性選擇的可行性和理性選擇的必要性：動態系統的穩定性要求存在負反饋機制，而穩定根就是這個負反饋機制，這使得理性選擇具有可能性（否則無論怎麽做也無法使得動態系統穩定）；但鞍點路徑同時還存在爆炸根，或稱非穩定根，其對動態系統的不穩定作用只有通過相應數量的控制變量的存在才能得以抵消，這給出了理性選擇的必要性（得做對了才能使得動態系統穩定）。給定（對應於負反饋機制的）期初資本，行爲人理性選擇的首期消費使得資本和消費的組合恰好位於鞍點路徑（穩定臂）上。

  5. 相對於所有可能的消費水平來説，如上一條所述的最優消費水平只是其中的一個點，一個點在所有可能的點之中出現的概率為0。但由於這一消費水平是最優的，我們實際觀察到的消費水平只能是這一個，其出現的概率為1。這種看起來似乎矛盾的現象，是由於存在著行爲人的理性選擇。這種情況並不等同於刀鋒性質，例如，哈羅德-多瑪模型或者KRX (Beyond Balanced Growth) 模型中的條件是未必會滿足的，只有外生條件恰好滿足相應條件時，模型的結果才能成立，其間并無控制變量即行爲人理性選擇的空間或餘地。但上一條所述的最優消費水平，只要的的確確是最優的，那麽行爲人的理性選擇就必然會使得這一消費水平與外生給定的期初資本相結合會位於鞍點路徑上。

  6. 爲何動態經濟問題有 present value 或者 current value 的處理？因爲我們需要積分因子。

  7. 欧拉方程是最優控制問題給出的關於狀態變量應如何最優變動的規定，以狀態變量對於最優值函數的邊際貢獻——即共態變量應該如何隨時間變化來刻畫。其表現形式的經濟學解釋為：跨期的“邊際收益等於邊際成本”。具體地，如果狀態變量為資本存量，那麽共態變量即是資本存量對於最優值函數的邊際貢獻，可以理解爲一種資產（而另一條最優化條件為消費的邊際效用也等於共態變量，那麽這種資產也可以理解爲邊際效用），那麽

λ˙+f′(k)λ=ρλ\dot{\lambda}+f^{\prime}(k)\lambda=\rho\lambda

其中左側第一項為：在當前多增加一單位資本存量在未來能帶來的資產升值；

第二項為：在當前多增加一單位資本存量能在未來所帶來額外產品 f′(k)f^{\prime}(k)，並折算回資產的度量單位 f′(k)λf^{\prime}(k)\lambda；

右側為：在當前多增加一單位資本存量意味著將當前的享受延遲到未來，但由於不耐心（其程度為 ρ\rho）的存在使得未來的享受打了折扣，這是一種跨期的邊際成本，折算回資產的度量單位為 ρλ\rho\lambda。

所以歐拉方程就是：跨期邊際收益（資產增值加額外產出）等於跨期邊際成本（不耐心的損失），整理，可得

−λ˙=f′(k)λ−ρλ-\dot{\lambda}=f^{\prime}(k)\lambda-\rho\lambda

或

−λ˙λ=f′(k)−ρ-\frac{\dot{\lambda}}{\lambda}=f^{\prime}(k)-\rho