闲谝

自从用了Dropbox加自动触发的方法以后，写博客、记笔记变得方便了好多，手机、平板，坐车、路上都可以，姥爷开心。最近刷了一遍Dougherty，稍微膜了膜蒋岳祥老师，大概有了点印象，这份笔记算是半回忆半整理，应该还需要不停修改，算是为自己复习也方便吧。三年了还没学会计量，这是我最差的一门了，基本是什么都不会，面对这门占125分的科目，不禁为自己感到担忧。

经典线性回归

回归的理由

如果条件期望函数是线性的，那么总体回归方程就应该是这个线性函数；
给定 $x_{i}$ ， $x_{i}^{T}\beta$ 是（在最小化均方误意义上）对 $y_{i}$ 的最优线性估计量；
$x_{i}^{T}\beta$ 是（在最小化均方误意义上）对 $E(y_{i}\mid x_{i})$ 的最优线性近似。
$E\left(Y\mid X\right)=arg max\left(\rho_{Y,L(X)}\right),即在所有关于$ X $的函数中，条件期望函数E\left(Y\mid X\right)拥有与$ Y$最大的相关系数。
（这一最大的相关系数之平方即为拟合优度。）

经典线性回归假设

线性（总体）

$y=E(y\mid X)+\epsilon=X\beta+\epsilon$ .即条件期望函数为线性形式。
其中 $X\beta$ 部分来源于经济理论，而 $\epsilon$ 部分来源于统计学。

严格外生性（总体）

$E(\epsilon_{i}\mid X)=0$ ，这意味着

$E(\epsilon_{i})=E\left[E(\epsilon_{i}\mid X)\right]=0$
$E(x_{jk}\epsilon_{i})=E\left[E(x_{jk}\epsilon_{i}\mid x_{jk})\right] =E\left[x_{jk}E(\epsilon_{i}\mid x_{jk})\right]=0$
$Cov(\epsilon_{i},x_{jk})=E(x_{jk}\epsilon_{i})-E(x_{jk})E(\epsilon_{i})= E(x_{jk}\epsilon_{i})=0$

无多重共线性（样本）

$rank(X)=K$ ，即数据矩阵为列满秩，没有任何一个变量可以表示为其他变量的线性组合。这意味着：

$rank(X^{T}X)=rank(X)=K$ ;
$\forall c$ 为 $K$ 维非零向量，有 $c^{T}X^{T}Xc>0$ .因为
（1） $q=c^{T}X^{T}Xc=(Xc)^{T}(Xc)\geq 0$ ;
（2）若存在某个 $K$ 维非零向量 $c$ 使得 $Xc=0$ ，而由 $X$ 列满秩得知 $Xc=0$ 仅有零解，因此 $c$ 既非零向量又为零向量，矛盾。
（3）因此第一步中的 $\geq$ 变为 $>$ ，即 $X^{T}X$ 正定。

$P\left(\lambda_{min}\left({X}’X\right)\rightarrow\infty\right)\rightarrow 1$
即随着样本容量趋于无穷的过程中，总有新的信息出现。

球状扰动项（总体）

$E(\epsilon\epsilon^{T}\mid X)=\sigma^{2}I_{n}$ ；或等价地是如下两个假设的结合：

同方差： $E(\epsilon_{i}^{2}\mid X)=\sigma^{2}>0$ ;
无自相关： $E(\epsilon_{i}\epsilon_{j}\mid X)=0$ .

据说始终假定具有非零有限前四阶矩，但具体咋回事忘记了，查了再补。

条件正态性（总体。为便于统计推断）

$\epsilon\mid X\sim N(0,\sigma^{2})$ .

随机抽样

如果 $(y_{i},x_{i})$ 是独立同分布的，则称 $(y,X)$ 为随机样本。
在随机样本情况下， $(\epsilon_{i},x_{i})$ 的分布不依赖于 $i$ ，因此无条件期望 $E(\epsilon_{i}^{2})$ 是常数；而条件期望 $E(\epsilon_{i}^{2}\mid x_{i})$ 的函数形式是固定的，但未必是常数，因此球状扰动项的假定仍是重要的。

固定回归元

如果回归元是固定的，则前述假设中条件期望与无条件期望是等价的。但Wooldridge、Hayashi等认为将回归元视为随机变量更合适。

今天先记到这儿吧

脱胎自：
Hayashi: Econometrics;
蒋岳祥：高级计量经济学;
Dougherty: Introduction to Econometrics;
Wooldridge: Introductory Econometrics;
靳云汇：高级计量经济学；
Angrist&Pischke: Mostly Harmless Econometrics.

不务正业学计量（二）

闲谝