不求甚解学经济-不动点定理（七）巴拿赫不动点定理 Banach's Fixed Point Theorem

巴拿赫不动点定理，又称为压缩映射原理（Contraction Mapping Principle）。

也许看起来这个定理貌似很简单，但其应用范围很广。也正是由于其强大，所以保证了在一些前提条件成立的情况下，我们可以对值函数赋任意初始值，其迭代后总会收敛到真实解。（其收敛是线性的，速度取决于下文定义的压缩常数，因而实际操作中我们往往不使用值函数迭代算法，而利用如政策函数迭代算法这种收敛更快的方法求解，当然这是后话，此处暂且不表。）

定义：算子

从一个度量空间映射到它自身的函数，称为一个算子。

定义： 李普希茨连续

一个算子$f:M\rightarrow M$如果满足$(\exists\beta\in\mathbb R_{+})(\forall x,y\in M)[d(f(X),f(y))\leq\beta d(x,y)]$，则称$f$为李普希茨连续映射，其中使得前式成立的最小$\beta$称为李普希茨常数。可知，李普希茨连续能推出连续。（有另外一种定义方式，即任何使定义式成立的数都称为李普希茨常数，从而每个比这个数大的数也是李普希茨常数。）

定义： 压缩映射

一个算子$f:M\rightarrow M$如果满足

$$(\exists\beta\in (0,1))(\forall x,y\in M)[d(f(X),f(y))\leq\beta d(x,y)]$$

则称$f$为压缩映射。可知，压缩映射即是李普希茨常数被限定在$(0,1)$的李普希茨连续算子。

定义： 非扩张映射

若李普希茨常数为$1$。

引理

如果$f:M\rightarrow M$为压缩映射，则$\forall x\in M$，序列$(x,f(x),f(f(x)),…)$为柯西列。

定理

如果$f:M\rightarrow M$为压缩映射，且$(M,d)$为完备度量空间（如果其中每个柯西列都是收敛列，且其极限位于该空间中，则称其为完备度量空间），则$f$具有唯一不动点，且从任意起始点$x_{0}$开始，如上面引理中定义的柯西列$(x_{0},f(x_{0}),f(f(x_{0}))…)$均收敛于该不动点。

存在性

因为$M$为完备度量空间，因此柯西列$(x_{0},f(x_{0}),f(f(x_{0}))…)$必收敛于空间中某点，记此点为$x^{\ast}$。$\forall\epsilon>0$，$\exists T$，使得$\forall t>T$

• 根据收敛定义，有$d(x^{\ast},x_{t})<\epsilon/3$；

• 根据柯西列定义，有$d(x_{t},x_{t+1})<\epsilon/3$；

• 根据距离(度量)的三角不等式，有$d(x^{\ast},f(x^{\ast}))≤d(x^{\ast},x_{t})+d(x_{t},x_{t+1})+d(f(x_{t}),f(x^{\ast}))$；

• 根据压缩映射定义，有$\beta \in (0,1)$使得$d(f(x_{t}),f(x^{\ast}))<\beta d(x_{t},x^{\ast})<\beta\epsilon/3$。

综上，有$d(x^{\ast},f(x^{\ast}))<\epsilon$，亦即$d(x^{\ast},f(x^{\ast}))=0$。

唯一性

假定$x°\neq x^{\ast}$，且满足$x°=f(x°)$ 及$x^{\ast}=f(x^{\ast})$。
因$x°=f(x°)$及$x^{\ast}=f(x^{\ast})$而有$d(x°,x^{\ast})=d(f(x°),f(x^{\ast}))$。
但根据压缩映射定义有$d(x°,x^{\ast})=d(f(x°),f(x^{\ast}))≤\beta d(x°,x^{\ast})$，而$\beta \in (0,1)$，因此$d(x°,x^{\ast})<\beta d(x°,x^{\ast})$。
但这意味着$d(x°,x^{\ast})=0$，而根据距离（度量）定义这就是$x°=x^{\ast}$，矛盾。因此仅有唯一不动点。□

Blackwell 充分条件

通过验证这一充分条件，可以得知给定的算子是否是压缩映射。（若满足，可知是压缩映射；若不满足，则不知道）
令$T$为度量空间$(X,d_{\infty})$上的一个算子，其中$X$为函数空间，如果算子$T$满足：
(a) 单调性。对于任意$x,y\in X$，$x\geq y$意味着$T(x)\geq T(y)$；
(b) 贴现性。令$c$表示在$X$中所有函数的定义域上均为常值的函数，对于任意这样一个$c$和每个$x\in X$，都存在一个$\beta\in [0,1)$，使得$T(x+c)\leq T(x)+\beta c$。
则$T$是以$\beta$为压缩常数的压缩映射。

证明

对于所有的函数$x,y\in X$，都有$x\leq y+d(x,y)$。因为有单调性，可知$T(x)\leq T(y+d(x,y))$，根据贴现性，进一步有$T(y+d(x,y))\leq T(y)+\beta d(x,y)$，即：$T(x)\leq T(y)+\beta d(x,y)$;
交换$x$和$y$的角色，可得$T(y)\leq T(x)+\beta d(x,y)$,
综上，$d(T(x),T(y))\leq\beta d(x,y)$。

应用

与Kakutani不动点定理一样，压缩映射原理也用于证明一些存在性问题。

应用

（待续）