一些簡單的凸分析及其应用

时隔两年多，恢复更新了。这是一些簡單的凸分析的续篇。

目前只是草稿，会有很多错误。

Don’t follow my arguments for now, it’s just a draft of a draft.

在这篇中，我们想用一套统一的凸分析工具，把高微（一）中消费者理论和厂商理论里常见的对象——支出函数、间接效用函数、成本函数、利润函数——的性质“打包”推一遍，尽量不靠背诵，而是从共轭与支持函数定理出发统一推出。

更具体一点，我们的目标是：

  • 从 concave / convex 指标函数（indicator functions）出发，引入 concave conjugate；
  • 把支出函数、成本函数、利润函数都写成某个指标函数的共轭；
  • 说明 Support Function Theorem、Conjugate Duality Theorem（Young–Fenchel）如何一锅端地产生 Shephard lemma、Hotelling lemma、Slutsky 矩阵等结论。

（间接效用函数稍微麻烦一些，这篇先主要讲支出 / 成本 / 利润。）

几个基本定义：指标函数与凹共轭

凹指标函数与凸指标函数

令 (A\subset \mathbb{R}^m) 是一个凸集合。

**凹指标函数（concave indicator）**定义为
[
I_A(x) =
\begin{cases}
0, & x\in A,\
-\infty, & x\notin A.
\end{cases}
]

也就是说，(I_A) 在集合内部“不给惩罚”（取 0），在集合外部施加无穷大的负惩罚（(-\infty)），使得任何 maximization / minimization 问题在有效域之外都变得劣得无法被选择。

对应的**凸指标函数（convex indicator）**定义为
[
\delta_A(x) = - I_A(x) =
\begin{cases}
0, & x\in A,\
+\infty, & x\notin A.
\end{cases}
]

注意这里的 (I_A) 与测度论中的 (0/1) 指示函数是不同的记号；我们在这个笔记中始终用上面的 extended real–valued 版本。

这一对定义基本上跟 Boyd / Border 的凸分析讲义完全一致。对凸集合 (A)，(I_A) 是凹函数、(\delta_A) 是凸函数。[^ref-IA]

[^ref-IA]: 参见 Boyd（2023）Microeconomics of Competitive Markets，Chapter 7.4.2 “Indicator Functions”，特别是 concave indicator 与 convex indicator 的定义。

凹共轭（concave conjugate）

在本文中，我们主要在“凹函数的世界”里工作。给定一个凹函数 (f:E\to\mathbb{R}^{\star})（取值允许 (\pm\infty)），其**凹共轭（concave conjugate）**定义为
[
f^{\star}(p) := \inf_{x\in E} {p\cdot x - f(x)}.
]

这是 Boyd / Border 的凹共轭约定：注意这里是“inf”，而不是更常见的“sup”（那对应的是凸共轭）。两者通过 (f \leftrightarrow -f) 的转换可以互相翻译。

若 (f=I_A) 是凹指标函数，则

  • 若 (x\notin A)，则 (f(x)=-\infty)，于是
    [
    p\cdot x - f(x) = p\cdot x - (-\infty) = +\infty;
    ]
  • 若 (x\in A)，则 (f(x)=0)，于是
    [
    p\cdot x - f(x)=p\cdot x.
    ]

因此对任何给定的 (p)，
[
I_A^{\star}(p)
= \inf_{x\in E}{p\cdot x - I_A(x)}
= \inf_{x\in A} p\cdot x.
]

我们把
[
f(p) := I_A^{\star}(p) = \inf_{x\in A} p\cdot x
]
称为集合 (A) 的（凹）支持函数（support function）。这是“由集合得到一个凹函数”的一个非常统一的方式。

经济学上你可以这样理解：

  • (A) 可以是某个上等偏好集（upper contour set），例如 (U(\bar u)={x: u(x)\ge \bar u})；
  • 也可以是某个上等产集（input requirement set）(Z(q)={z: f(z)\ge q})；
  • 在这两种情况下，(\inf_{x\in A} p\cdot x) 就分别对应于“支出函数”和“成本函数”。

这一点下一节会更精确地写出来。

支出 / 成本 / 利润作为指标函数的共轭

这一节先把几个经典对象统一写成共轭形式。

支出函数 (e(p,u))

令偏好可由一个连续、准凹的效用函数 (u:X\to\mathbb{R}) 表示。给定目标效用水平 (\bar u)，定义上等偏好集
[
U(\bar u) := {x\in X: u(x)\ge \bar u}.
]

考虑支出最小化问题
[
e(p,\bar u)
:= \inf_{x\in X} {p\cdot x : x\in U(\bar u)}
= \inf_{x\in U(\bar u)} p\cdot x.
]

这正好就是凹指标函数 (I_{U(\bar u)}) 的凹共轭：
[
I_{U(\bar u)}^{\star}(p)
= \inf_{x\in U(\bar u)} p\cdot x
= e(p,\bar u).
]

也就是说，支出函数是上等偏好集的支持函数。这一点在 Boyd 的 Example 7.4.2 里明确写出。[^ref-exp]

[^ref-exp]: Boyd（2023），Chapter 7.4.3“Conjugate Functions in Economics”，Example 7.4.2，说明 (I_{U(\bar u)}^{\star}(p)=e(p,\bar u))。

成本函数 (c(w,q))

令 (f:\mathbb{R}^m_+\to\mathbb{R}+) 为一个连续、凹的生产函数。给定目标产量 (q)，定义上等产集
[
Z(q) := {z\in\mathbb{R}^m+ : f(z)\ge q}.
]

成本函数定义为
[
c(w,q)
:= \inf_{z\in\mathbb{R}^m_+} {w\cdot z : z\in Z(q)}
= \inf_{z\in Z(q)} w\cdot z.
]

同样地，这是 (Z(q)) 的凹指标函数的凹共轭：
[
I_{Z(q)}^{\star}(w)
= \inf_{z\in Z(q)} w\cdot z
= c(w,q).
]

所以成本函数也是一个支持函数。Boyd 在 Example 7.4.2 中也把成本函数解释为 (I_{Z(q)}^{\star}(w))。[^ref-cost]

[^ref-cost]: Boyd（2023），同样在 Example 7.4.2 中指出 (c(w,q)=I_{F(q)}^{\star}(w))（记号上略有差异）。

利润函数 (\pi(p))

产业这边更方便的写法是用“净产出向量”。令 (Y\subset\mathbb{R}^m) 是 production set（正坐标是产出，负坐标是投入）。给定价格向量 (p\in\mathbb{R}^m)，利润函数为
[
\pi(p) := \sup_{y\in Y} p\cdot y.
]

令 (\delta_Y=-I_Y) 是 (Y) 的凸指标函数，则它的凸共轭为
[
\delta_Y^{\star}(p)
= \sup_{y\in Y} {p\cdot y - \delta_Y(y)}
= \sup_{y\in Y} p\cdot y
= \pi(p).
]

换句话说，利润函数是 convex indicator 的 convex conjugate。Boyd 在 Example 7.4.2 中给出了这点，并指出这意味着利润函数是一个凸函数。[^ref-profit]

[^ref-profit]: Boyd（2023），Chapter 7.4.3 中指出利润函数是生产集合凸指标的凸共轭：(\pi(p)=( -I_Y)^{\star}(p))。

到这里为止，我们已经把三大“值函数”写成了统一的形式：

  • 支出函数：(e(p,\bar u)=I_{U(\bar u)}^{\star}(p))；
  • 成本函数：(c(w,q)=I_{Z(q)}^{\star}(w))；
  • 利润函数：(\pi(p)=( -I_Y)^{\star}(p))。

下面两节我们先不给经济解释，先纯粹在凸分析层面陈述两个主角：

  • Conjugate Duality Theorem；
  • Support Function Theorem。

Conjugate Duality Theorem（Young–Fenchel）

这一节给出凹共轭版本的 Conjugate Duality Theorem，用的是 Boyd 的刻画。

Young–Fenchel 不等式与等式

给定适当、凹、上半连续的函数 (f:E\to\mathbb{R}^{\star})，其凹共轭为
[
f^{\star}(p)=\inf_{y} {p\cdot y - f(y)}.
]

由定义立刻有：对任意 (x,p)，
[
f^{\star}(p)
\le p\cdot x - f(x)
\quad\Rightarrow\quad
f(x) + f^{\star}(p) \le p\cdot x.
]

这就是Young–Fenchel 不等式。等号何时成立？

一方面，若 (p\in\partial^{\star} f(x))，即 (p) 是在 (x) 处的 supergradient，则 supergradient 不等式
[
f(y) \le f(x) + p\cdot (y-x)\quad\forall y
]
等价于
[
p\cdot x - f(x) \le p\cdot y - f(y)\quad\forall y,
]
于是
[
f^{\star}(p) = \inf_y {p\cdot y - f(y)} = p\cdot x - f(x),
]
所以
[
f(x)+f^{\star}(p)=p\cdot x.
]

反之，若 (f(x)+f^{\star}(p)=p\cdot x)，再代回去可以验证 supergradient 不等式成立，从而 (p\in\partial^{\star} f(x))。这就是 Boyd 所谓的 Young–Fenchel Equality。[^ref-yf]

[^ref-yf]: Boyd（2023），Chapter 7.5.1 “Young–Fenchel Theorem”，给出了不等式与等式，并说明等号成立当且仅当 (p) 是 (f) 的 supergradient。

Conjugate Duality Theorem

定理（Conjugate Duality Theorem，凹版本）
令 (f:E\to\mathbb{R}^{\star}) 为适当、凹、上半连续函数。以下六个条件等价：

  1. (x) 使 (p\cdot y - f(y)) 在 (y\in E) 上取得最小：
    [
    x\in\arg\min_{y} {p\cdot y - f(y)}.
    ]
  2. (p\in\partial^{\star} f(x))，即 (p) 是 (f) 在 (x) 的 supergradient。
  3. Young–Fenchel Equality 在 ((x,p)) 处成立：
    [
    f(x) + f^{\star}(p) = p\cdot x.
    ]
  4. 对 (f^{\star\star}) 也成立：
    [
    f^{\star\star}(x) + f^{\star}(p) = p\cdot x.
    ]
  5. (x\in\partial^{\star} f^{\star}(p))，即 (x) 是 (f^{\star}) 在 (p) 的 supergradient。
  6. (p) 使 (q\cdot x - f^{\star}(q)) 在 (q) 上取得最小：
    [
    p\in\arg\min_{q} {q\cdot x - f^{\star}(q)}.
    ]

证明思路完全是 Boyd 讲义里的那套：利用 Young–Fenchel Equality 对 (f) 与 (f^{\star}) 各用一次，再用 (f^{\star\star}=f)（凹、上半连续保证）把 (3) 与 (4) 链接起来，即可得到 (1)–(6) 的相互等价。[^ref-cdt]

[^ref-cdt]: 参见 Boyd（2023）Ch.7.5.3 “The Conjugate Duality Theorem”，其中 (1)–(6) 条款与这里完全一致。

在后面的 Support Function Theorem 里，第 (3) 条“(x(p)=\partial^{\star} f(p))”以及第 (6) 条关于 Hessian 的结论，都要用到这个定理。

Support Function Theorem

现在回到最开始的设定。

令 (A\subset\mathbb{R}^m) 为凸集合，(I_A) 为其凹指标函数，支持函数
[
f(p) := I_A^{\star}(p) = \inf_{x\in A} p\cdot x.
]

定义对应的解 correspondence
[
x(p) := {x\in A : p\cdot x = f(p)},
]
即 (\min_{x\in A} p\cdot x) 的解集（如果存在最小值的话）。

Support Function Theorem（凹版本）
在上述设定下：

  1. (f(p)) 是凹的、上半连续、对 (p) 齐次一阶（homogeneous of degree one）。此外，(f) 在 (\operatorname{int}(\operatorname{dom} f)) 上连续。
    • 在典型的经济学情景中（(A\subset\mathbb{R}^m_+) 且满足单调性），(f) 在 (\mathbb{R}^m_+) 上对每个价格坐标 (p_k) 单调非减——这反映了“价格上升不会降低最小支出 / 成本”。[^ref-sft1]
  2. 若 (A) 闭且凸，则
    [
    f^{\star}(x) = I_A(x),
    ]
    换言之 (I_A^{\star\star}=I_A)；因此
    [
    A = {x: f^{\star}(x)=0}
    = {x: p\cdot x \ge f(p)\ \forall p},
    ]
    即 (A) 可以被看成是所有“支撑超平面”(p\cdot x\ge f(p)) 的交。[^ref-sft2]
  3. 若 (A) 凸，则最小化问题的解满足
    [
    x(p) = \partial^{\star} f(p),
    ]
    即 (x(p)) 是 (f) 在 (p) 的 supergradient 集。若最小解唯一，则 (f) 在 (p) 的方向导数存在，且
    [
    Df(p;v) = x(p)\cdot v.
    ][^ref-sft3]
  4. 若 (x_i\in x(p_i)) 对 (i=0,1)，则
    [
    (x_1 - x_0)\cdot (p_1 - p_0) \le 0.
    ]
    这是 supergradient 单调性的一个直接 corollary，也可以被解释为 Hicksian demand / 条件要素需求满足“（广义）需求定律”。[^ref-sft4]
  5. (x(p)) 对 (p) 齐次 0 阶：即对任意 (t>0)，
    [
    x(tp) = x(p).
    ]
    经济上，这意味着成本最小化需求 / Hicksian demand 只取决于相对价格，不取决于价格的绝对水平。[^ref-sft5]
  6. 若 (A) 凸且 (f\in C^2)，则 (x(p)) 可微，Jacobian
    [
    D x(p) = D^2 f(p)
    ]
    是对称、半负定矩阵，且
    [
    D^2 f(p),p = 0.
    ]
    这最后一个等式是因为 (f) 对 (p) 是齐次一阶，套用 Euler 定理即可。对支出函数而言，(D^2_p e) 就是 Slutsky substitution matrix（补偿需求的 Hessian），因此自然是对称、半负定，且与齐次性一起给出标准的 Slutsky 条件。[^ref-sft6]

这些性质在 Boyd 的 Support Function Theorem（Ch.7.5.5）中给出，并在后续的 Cost Theorem 中具体应用于成本函数。

[^ref-sft1]: 对凹函数的“齐次一阶 + 支撑函数结构 + 有界的有效域”结合起来即可证明凹性、上半连续与 HD1 性质，见 Boyd（2023）Prop.7.4.3 与 Support Function Theorem 的 (1)；对单调性，则需要 (A\subset\mathbb{R}^m_+) 和经济上的单调性前提。
[^ref-sft2]: 由一般性的 (f^{\star\star}=f)（对凹、上半连续函数）和凹指标函数的定义推出，见 Boyd（2023）Corollary 7.4.11 与 Support Function Theorem (2)。
[^ref-sft3]: 这是 Conjugate Duality Theorem 的直接 corollary：极小值点与 supergradient 集等价，见 Boyd（2023）Conjugate Duality Theorem 与 Support Function Theorem (3)。
[^ref-sft4]: 由 supergradient 集的单调性（Lemma 7.5.5）直接得到，见 Boyd（2023）Ch.7.5.4–7.5.5。
[^ref-sft5]: 齐次 0 阶的结论来自于 (f) 齐次 1 阶，对比 Boyd（2023）Proposition 7.5.4 与 7.5.5。
[^ref-sft6]: 对称性与半负定性来自凹函数二阶导数的一般性质；(D^2 f(p)p=0) 来自 Euler 定理，见 Boyd（2023）Support Function Theorem (6）。

Attaching names：把支出 / 成本 / 利润函数贴到支持函数定理上

现在回到经济学对象，用上一节的 Support Function Theorem 一条一条“贴标签”。

1. 支出函数 (e(p,u)) 的性质

回忆：
[
e(p,u) = I_{U(u)}^{\star}(p),
\quad
U(u)={x: u(x)\ge u}.
]

假设偏好由连续、局部非饱和、严格准凹的效用函数 (u) 表示，则 (U(u)) 是闭、凸且非空的。[^ref-pref]

[^ref-pref]: 类似假设在 Varian《Microeconomic Analysis》Ch.7 和 Boyd（2023）Ch.7.2 中反复使用，以保证上等偏好集的闭性与凸性。

令 (A=U(u))，(f(p)=e(p,u))，套用 Support Function Theorem：

  1. 对价格的凹性与齐次性

    • 对每个固定的 (u)，(e(p,u)) 对 (p) 凹、上半连续，并且对 (p) 齐次一阶。
    • 在 (p\gg 0) 的区域内 (e(p,u)) 连续。
      这与 Varian 在 Ch.7 中列出的“Properties of the expenditure function”完全一致。[^ref-exp-prop]

  2. 对价格的单调性
    在标准设定下，消费集合在 (\mathbb{R}^n_+) 中且偏好单调，(U(u)) 在商品坐标上向上闭合，此时 Support Function Theorem 的 “weakly increasing in (p)” 就意味着：

    对每个坐标 (k)，(e(p,u)) 对 (p_k) 单调非减。
    Varian 在 Ch.7 也把这一条作为支出函数性质之一。[^ref-exp-prop]

  3. 对效用的单调性
    这条虽然不直接来自支持函数定理，但由上等偏好集的嵌套性立即推出：若 (u_2>u_1)，则 (U(u_2)\subset U(u_1))，于是
    [
    e(p,u_2)=\inf_{x\in U(u_2)} p\cdot x
    \ge \inf_{x\in U(u_1)} p\cdot x
    = e(p,u_1),
    ]
    且在局部非饱和偏好下这不等式是严格的。[^ref-exp-prop]

  4. Hicksian demand 与 Shephard lemma
    令 Hicksian demand（支出最小化需求）为
    [
    h(p,u)\in\arg\min_{x\in U(u)} p\cdot x.
    ]
    Support Function Theorem (3) 给出
    [
    h(p,u) \subset \partial^{\star}_p e(p,u),
    ]
    若最优解唯一且 (e) 可微，则
    [
    \frac{\partial e(p,u)}{\partial p_k} = h_k(p,u).
    ]
    这就是 Shephard lemma 在消费者理论中的版本，与 Varian Ch.7 的陈述相同。[^ref-exp-shephard]

  5. Slutsky 矩阵（补偿需求版本）
    若 (e(p,u)) 在 (p) 上二阶可微，则 Support Function Theorem (6) 给出 Hessian (D^2_p e(p,u)) 对称、负半定，并且乘以 (p) 为零向量。这个 Hessian 正是 Hicksian demand 的替代效应矩阵（纯替代效应），是 Slutsky 矩阵的“补偿版”，在 Varian 与更高阶教材中是标准结论。[^ref-exp-slutsky]

综上，支出函数的所有经典性质（凹性、HD1、单调性、Shephard lemma、Slutsky 矩阵）都可以直接看作是 Support Function Theorem 的 corollaries。

[^ref-exp-prop]: Varian（1992）Microeconomic Analysis 3rd ed., Ch.7, p.117–118 对支出函数列出性质：(1) 对 (p) 单调非减；(2) 对 (p) 齐次一阶；(4) 在 (p\gg0) 上连续。Boyd（2023）则从支持函数定理角度给出相同结论。
[^ref-exp-shephard]: Shephard lemma 的消费者版本见 Varian（1992）Ch.7，与 Boyd（2023）支出函数与 Hicksian demand 的关系一致。
[^ref-exp-slutsky]: Slutsky 矩阵的对称性与负半定性在 Varian、Mas-Colell 等书中通过二阶导数矩阵给出，而在 Boyd 框架下是 Support Function Theorem (6) 的直接 corollary。

2. 成本函数 (c(w,q)) 的性质

回忆：
[
c(w,q) = I_{Z(q)}^{\star}(w),
\quad
Z(q)={z\ge 0: f(z)\ge q}.
]

假设生产函数 (f) 连续、凹且满足适当的单调性（投入越多不减产），则 (Z(q)) 闭、凸且在 (\mathbb{R}^m_+) 中向上闭合。[^ref-cost-set]

令 (A=Z(q))，(f(w)=c(w,q))，Support Function Theorem 直接给出 Cost Theorem 的大部分内容：

  1. 对要素价格的凹性与齐次性
    对每个 (q)，(c(w,q)) 对 (w) 凹、上半连续、HD1，并在其定义域内部连续。[^ref-cost-thm]

  2. 对要素价格与产量的单调性
    由于 (Z(q)) 向上闭合，(w) 增大不会降低最小成本；(q) 增大使得 (Z(q)) 收缩，也不会降低成本。Boyd 在 Cost Theorem 中明确给出 (c(w,q)) 对 (w,q) 都是弱增加的。[^ref-cost-thm]

  3. Shephard lemma（厂商版本）
    条件要素需求
    [
    z(w,q)\in\arg\min_{z\in Z(q)} w\cdot z
    ]
    满足
    [
    z(w,q)\subset\partial^{\star}_w c(w,q),
    ]
    若解唯一且可微，则
    [
    \frac{\partial c(w,q)}{\partial w_k} = z_k(w,q).
    ]
    这是 Varian Ch.5 中 Shephard lemma 的标准形式。[^ref-cost-shephard]

  4. “要素需求定律”与 Hessian
    Support Function Theorem (4) 给出：若 (z_i\in z(w_i,q))，则
    [
    (z_1 - z_0)\cdot (w_1 - w_0) \le 0,
    ]
    即价格向量与要素需求向量的变化“反向”；这是条件要素需求的“定律”。若 (c) 在 (w) 上二阶可微，则 Hessian (D^2_w c) 对称、负半定，给出对称、负半定的“要素替代矩阵”。[^ref-cost-hess]

[^ref-cost-set]: (Z(q)) 是凹生产函数的上等产集，因而是闭、凸集合；在单调技术下，它在 (\mathbb{R}^m_+) 中向上闭合，这一结构在 Varian（1992）Ch.1–5 中有系统讨论。
[^ref-cost-thm]: Boyd（2023）Ch.7.5.6 “The Cost Theorem” 中的 (2) 条给出 (c_q(w)) 对 (w) 凹、上半连续、HD1，并在 int(dom) 上连续、对 (w,q) 弱增加。
[^ref-cost-shephard]: 同一 Cost Theorem 的 (4) 条给出 Shephard lemma；Varian（1992）Ch.5, p.87–90 也给出相同结果。
[^ref-cost-hess]: Cost Theorem (5)–(7) 条给出条件要素需求的“定律”、齐次性以及 Hessian 的对称与负半定性。

3. 利润函数 (\pi(p)) 的性质

利润函数写法：
[
\pi(p) = \sup_{y\in Y} p\cdot y = (-I_Y)^{\star}(p),
]
这里 (-I_Y) 是 convex indicator，(\pi) 是它的凸共轭。

利用一般的 convex conjugate 性质（这一次是“凸世界”而不是“凹世界”）：

  1. (\pi(p)) 对 (p) 是凸函数，下半连续。
  2. 若 (Y) 是锥状或满足规模线性，则 (\pi) 对 (p) 齐次一阶。
  3. 在“净产出”写法下，如果某些坐标对应投入（net output 为负），则 (\pi) 对这些坐标是单调非增，对产出价格坐标单调非减。[^ref-profit-mono]
  4. 若能解出利润最大化最优净产出 (y(p))，且解唯一、(\pi) 可微，则
    [
    \frac{\partial \pi(p)}{\partial p_k} = y_k(p),
    ]
    这就是 Hotelling lemma。[^ref-hotelling]

在教科书中（例如 Varian Ch.5 与 Ch.7），这些性质通常是一一证明的；在 Boyd / Border 的框架下，它们都是 convex conjugate 基础性质的 corollaries。

[^ref-profit-mono]: 见 Boyd（2023）Ch.7.4.3 对利润函数的解释，以及 Varian（1992）Ch.5 中关于利润函数对价格的单调性。
[^ref-hotelling]: Hotelling lemma 在 Varian（1992）Ch.5 中通过 envelope theorem 推导；其本质是利润函数作为最大化问题的值函数对参数求导。

Recoverability：从支持函数（值函数）恢复集合

Support Function Theorem (2) 给了一个非常重要的“可恢复性”结论：

  • 若 (A) 闭且凸，则
    [
    f(p) = I_A^{\star}(p)
    \quad\Rightarrow\quad
    f^{\star}(x) = I_A(x),
    ]
    从而
    [
    A = {x: f^{\star}(x)=0}
    = {x: p\cdot x \ge f(p)\ \forall p}.
    ]

对应到经济学：

  • 对消费者：给定支出函数 (e(p,u))，可以通过 (e(\cdot,u)) 的共轭恢复上等偏好集 (U(u))。这与 Varian 在 Ch.8 用支出函数解决 integrability 问题的思路是一致的（先从 demand 得到支出，再从支出恢复效用）。[^ref-integrability]
  • 对厂商：给定成本函数 (c(w,q))，可以通过共轭恢复上等产集 (Z(q))，从而恢复生产技术的信息。

因此，支持函数不只是给出“值”，它在某种意义上把整个集合几何结构都编码进去了。

[^ref-integrability]: Varian（1992）Ch.8 讨论 integrability，先通过条件 demand 确认 Slutsky 对称性与负半定性，再解出支出函数 (e(p,u))，最后通过支出函数定义恢复间接/直接效用。

references

  1. John H. Boyd III (2023), Microeconomics of Competitive Markets, Chapter 7 “Convex Analysis”，特别是 7.4–7.5 节，对 concave indicator、conjugate、Young–Fenchel、Conjugate Duality Theorem 与 Support Function Theorem 有系统的论述，并将其应用到 cost function。
  2. Hal R. Varian (1992), Microeconomic Analysis (3rd ed.), Ch.5 “Cost Function” 与 Ch.7 “Utility Maximization”，列举了成本函数与支出函数的性质（凹性、齐次性、单调性、Shephard lemma、Slutsky 矩阵等），可以和本笔记的支持函数视角一一对应。
  3. David M. Kreps (2013), Microeconomic Foundations I: Choice and Competitive Markets, Appendix 3 “Convex Analysis”，给出了 Support–Function Theorem 的另一种表述，并指出支出函数是上等偏好集的支持函数。
  4. （待补）KC Border 的 convex analysis/duality 讲义与 Nam Nguyen 的课程讲义，这两者在结构上与 Boyd / Varian / Kreps 是高度一致的，可以作为本笔记的背景材料。