不求甚解學經濟-信息設計(六)-動態情形：外生可變狀態

外生可變狀態的動態情形。

有限期界$t\in\{1,...,T\}$，在每期，世界狀態 $s_{t}$ 可能為 $\{g,b\}$，世界狀態序列這一馬爾科夫鏈的轉移矩陣為

$$\mathbb{P}=[ \begin{matrix} 1-q&q\\ 0&1 \end{matrix} ]$$

即，如果當期為 $g$，則以 $1-q$ 的機率下期仍為 $g$，以 $q$ 的機率下期為 $b$；一旦世界狀態變為 $b$，則會停留為 $b$。
假設第一期 $t=1$ 時世界初始狀態為 $g$ 的機率為 $\mu=\text{prob}(s_1=g)$。記世界狀態由 $g$ 變為 $b$ 的時刻為 $\theta$，並規定當 $s_{t}=g,\forall t$ 時 $\theta=T+1$，則 $\theta$ 的分佈可以錶示為

$$\text{prob}(\theta=\theta^{\prime})=\left\lbrace \begin{aligned} & 1-\mu ,& & \text{ if }\theta^{\prime}=1 \\ & \mu(1-q)^{\theta-2}q ,& & \text{ if }2\leq\theta\leq T \\ & \mu(1-q)^{T-1} ,& & \text{ if }\theta^{\prime}=T+1 \end{aligned} \right.$$