外生可變狀態的動態情形。

有限期界t∈{1,...,T}t\in\{1,...,T\}，在每期，世界狀態 sts_{t} 可能為 {g,b}\{g,b\}，世界狀態序列這一馬爾科夫鏈的轉移矩陣為

P=[1−qq01]\mathbb{P}=[ \begin{matrix} 1-q&q\\ 0&1 \end{matrix} ]

即，如果當期為 gg，則以 1−q1-q 的機率下期仍為 gg，以 qq 的機率下期為 bb；一旦世界狀態變為 bb，則會停留為 bb。
假設第一期 t=1t=1 時世界初始狀態為 gg 的機率為 μ=prob(s1=g)\mu=\text{prob}(s_1=g)。記世界狀態由 gg 變為 bb 的時刻為 θ\theta，並規定當 st=g,∀ts_{t}=g,\forall t 時 θ=T+1\theta=T+1，則 θ\theta 的分佈可以錶示為

prob(θ=θ′)={1−μ, if θ′=1μ(1−q)θ−2q, if 2≤θ≤Tμ(1−q)T−1, if θ′=T+1\text{prob}(\theta=\theta^{\prime})=\left\lbrace \begin{aligned} & 1-\mu ,& & \text{ if }\theta^{\prime}=1 \\ & \mu(1-q)^{\theta-2}q ,& & \text{ if }2\leq\theta\leq T \\ & \mu(1-q)^{T-1} ,& & \text{ if }\theta^{\prime}=T+1 \end{aligned} \right.