不求甚解學經濟-連續時間的歐拉方程是如何得來的？

這份筆記目前隻是草稿，可能會有很多錯誤-20191001

連續時間的歐拉方程是如何得來的？
這篇筆記提供了一個簡易的推導，利用擾動方法得到了連續時間最優化問題的一階條件，即最大化原理。

用擾動法得到最優條件

考慮如下問題：

$$\begin{aligned} &\max\int_{0}^{T}e^{-\rho t}u(C_{t})dt\\\\ &s.t.\\\\ &\dot{K_{t}}=f(K_{t})-C_{t}\\\\ &e^{-rT}K_{T}\geq 0 \end{aligned} \tag{1}$$

我們使用拉格朗日方法將其寫為：

$$L=\int_{0}^{T}[e^{-\rho t}u(C_{t})+\lambda_{t}(f(K_{t})-C_{t}-\dot{K_{t}})]dt + \mu e^{-rT}K_{T}\tag{2}$$

並記擾動為：

$$\begin{aligned}C(\epsilon)&=C^{\star}+p_{1}\epsilon\\ K(\epsilon)&=K^{\star}+p_{2}\epsilon\\ K_{T}(\epsilon)&=K_{T}^{\star}+\epsilon dK_{T} \end{aligned} \tag{3}$$

如果$C^{\star}$、$K^{\star}$和$K_{T}^{\star}$分別為最優值；
將擾動代入$L$得到$L(\epsilon)$，並將$L(\epsilon)$關於$\epsilon$求導，可得必要條件：

$$\int_{0}^{T}[e^{-\rho t}u^{\prime}(C^{\star})p_{1}+\lambda_{t}(f^{\prime}(K^{\star})p_{2}-p_{1})+\dot{\lambda_{t}}p_{2}]dt-\lambda_{T} dK_{T}+\mu e^{-rT} dK_{T}=0\tag{4}$$

若要求當$p_{1}$、$p_{2}$為任意方嚮的偏離都有式（4）成立，則需有：

1. $$e^{-\rho t}u^{\prime}(C^{\star})=\lambda_{t},\forall t\tag{5}$$

2. $$\lambda_{t}f^{\prime}(K^{\star})+\dot{\lambda_{t}}=0,\forall t\tag{6}$$

3. $$\lambda_{T}=\mu e^{-rT}\tag{7}$$

定義$\gamma_{t}=e^{\rho t}\lambda_{t}$，並相應地改寫$\dot{\lambda_{t}}=-\rho e^{-\rho t}\gamma_{t}+e^{-\rho t}\dot{\gamma_{t}}$即可得到常見的一階條件:

1. $$u^{\prime}(C^{\star})=\gamma_{t},\forall t\tag{5'}$$

2. $$\gamma_{t}f^{\prime}(K^{\star})+\dot{\gamma_{t}}=\rho \gamma_{t},\forall t\tag{6'}$$

3. $$\gamma_{T}=\mu e^{-(r-\rho)T}\tag{7'}$$

並且，將式（7’）與式（1）中原問題的非負約束相結合，有$\gamma_{T}e^{-(r-\rho)T}K_{T}=0$，當無窮期 $T\rightarrow\infty$ 時即為$\lim_{t\rightarrow\infty}\gamma_{t}e^{-(r-\rho)t}K_{t}=0$
其中因約束以等式成立，而省去各嚴格正的乘子$\mu$。

Hamiltonian

我們在宏觀領域裏經常會見到“Present value Hamiltonian”和“Current value Hamiltonian”的說法，對於中文讀者來說，這兩個詞不都是“現在”的意思嗎？有什麼區別？
區別就是：
present在這裏指的是規劃期，常是第0期；
而current在這裏指的是第t期。
以這種方式理解：
$K$的運動方程錶示的是第t期的瞬時變化；
current value單期效用函數就是按第t期衡量的$u_{c}=u(C_{t})$；
把current單期效用函數前乘個$e^{-\rho t}$就變成了摺算成第0期的present value單期效用函數$u_{p}=e^{-\rho t}u(C_{t})$。
因此有：

$$\begin{aligned} H_{p}&=e^{-\rho t}H_{c}\\ H_{c}&=e^{\rho t}[u_{p}(C(t))+\lambda_{t}(f(K_{t})-C_{t})]\\ &=u_{c}+\lambda_{t}e^{\rho t}(f(K_{t})-C_{t})\\ \end{aligned}$$

（經濟含義解釋待補充）

便於記憶：如果我們將$e^{-\rho t}$稱為折現，那麽present value和current value的漢彌爾頓函數的區別在於：如果折的是目標(biao)函數，那麽就稱爲present value；如果折的是乘(Cheng)子，那麽就稱爲current value。但由於乘子是可以改寫的，所以有時候并不能看出乘子是否被折現了，那麽判斷標準也可以記爲：如果原目標函數中是否折現的，那麽當漢彌爾頓函數中的當期瞬時效用函數帶著折現項，則為present value；如果不帶，則為current value。

原問題是個無窮期從 0 到 $\infty$ 的問題，漢彌爾頓函數中的問題是某個/每個 $t$ 時點的問題。這是一種極大的簡化。

Dorfmanian

$$\begin{aligned}D&=e^{-\rho t}u(C(t))+\gamma(t)\dot{K}(t)+\dot{\gamma}(t)K(t)\\ &=e^{-\rho t}u(C(t))+\gamma(t)(f(K_{t})-C_{t})+\dot{\gamma}(t)K(t) \end{aligned}$$

將其關於 $C(t)$ 和 $K(t)$ 求導，得到一階條件

$$\begin{aligned} e^{-\rho t}u^{\prime}(C(t))=&\gamma(t)\\ \gamma(t)f^{\prime}(K_{t})&=-\dot{\gamma}(t)\\ \end{aligned}$$

將歐拉方程

$$e^{-\rho t}u^{\prime}(C(t))=\gamma(t)$$

關於 $t$ 求導

$$-\rho e^{-\rho t}u^{\prime}(C(t))+e^{-\rho t}u^{\prime\prime}(C(t))\dot{C}(t)=\dot{\gamma}(t)$$

代入

$$\gamma(t)f^{\prime}(K_{t})=-\dot{\gamma}(t)$$

得到

$$-\gamma(t)f^{\prime}(K_{t})=-\rho e^{-\rho t}u^{\prime}(C(t))+e^{-\rho t}u^{\prime\prime}(C(t))\dot{C}(t)$$

代入歐拉方程，得到

$$-e^{\rho t}u^{\prime}(C(t))f^{\prime}(K_{t})=-\rho e^{-\rho t}u^{\prime}(C(t))+e^{-\rho t}u^{\prime\prime}(C(t))\dot{C}(t)$$

整理

$$-u^{\prime}(C(t))f^{\prime}(K_{t})=-\rho u^{\prime}(C(t))+u^{\prime\prime}(C(t))\dot{C}(t)$$

再整理

$$-f^{\prime}(K_{t})=-\rho+\frac{u^{\prime\prime}(C(t))}{u^{\prime}(C(t))}\dot{C}(t)$$

定義

$$\sigma(C(t))=-\frac{C(t)u^{\prime\prime}(C(t))}{u^{\prime}(C(t))}$$

得到

$$\begin{aligned}f^{\prime}(K_{t})&=\rho-\frac{C(t)u^{\prime\prime}(C(t))}{u^{\prime}(C(t))}\frac{\dot{C}(t)}{C(t)}\\ &=\rho+\sigma(C(t))\frac{\dot{C}(t)}{C(t)} \end{aligned}$$

整理，得到消費的動態方程

$$\frac{\dot{C}(t)}{C(t)}=\frac{1}{\sigma(C(t))}[f^{\prime}(K_{t})-\rho]$$

即，Dorfmanian 對於動態變量 $K(t)$ 需要補充一項 $\dot{\gamma}(t)K(t)$，隨後即可應用常見的“求導並令其為零”操作而無需記憶相關的正負 $\rho$ 項。

（待補充）

參考文獻

[1] DORFMAN, Robert. An economic interpretation of optimal control theory. The American Economic Review, 1969, 59.5: 817-831.