不求甚解學經濟-Berge's Maximum Theorem 最大值定理

寫在前麵

Berge 定理錶明值函數和最優選擇函數可以在一定程度上“繼承”目標函數和可行集變動的連續性，但並非完整地繼承。
在消費者行為理論的應用比如證明間接效用函數、支出函數（作為值函數），瓦爾拉需求函數、希克斯需求函數（作為最優選擇函數）的一些性質。

(待修改)

設定

這一定理要處理“參數最優化”問題，可以將其理解為一種特殊的“有約束最優化”問題，而特殊之處在於，這一約束可以用參數來刻畫。

• 令$C$為$l$維歐氏空間$\mathbb{R}^{l}$的子集，$X$為$m$維歐氏空間$\mathbb{R}^{m}$的子集。

  其中$C$為參數集，$X$為控製變數集。

• $h:C\Rightarrow X​$為「約束對應」。

  例如錶示在天氣狀況為雨天時，$c\in C$，小$c$為雨天，大$C$為各種可能的天氣狀況，那麼這個約束對應給出我可能的選擇為$h(c)\subset X$這些裝扮。（此處以約束為1維—天氣—為例，但可以有多維。）

  其中$h$為對應（correspondence）意指其取值為集合，是$X$的某個子集。

  比如，當

  X={太陽傘，鐵甲，紙西裝，蓑衣，雨傘，火焰裝，超能力防護罩}，

  那麼

  h©={蓑衣，雨傘，超能力防護罩}。

• $f:C\times X\rightarrow\mathbb{R}$為「目標函數」。

  錶示，當天氣為雨天，而我從由$c​$而決定的$h(c)​$裏選擇裝備時，我能夠得到的滿足程度。

  比如下雨了，我選擇了帶雨傘，冇淋到雨，滿足程度為3；如果我選的是超能力防護罩，滿足程度為5，因為不僅冇淋到雨而且可能我喜歡出風頭；或者選蓑衣，滿足程度為1。

• $h^{\ast}:C \Rightarrow X​$，$h^{\ast}:= \arg \max f(c,x)​$為當麵對$c\in C​$時使得$f(c,x)​$最大化的那些$x​$們，稱為「解對應」。

  在例子中，超能力防護罩就是那個當麵對雨天時使得滿足程度最大的選項。這裏使滿足程度最大的隻有“超能力防護罩”這一個選項，而事實上允許存在多個取得並列第一的滿足程度的備選項，這也是“對應”一詞所蘊涵的。

• $f^{\ast}:C \rightarrow R$，$f^{\ast}(c)= \max f(c,x)$為關於$c$的「值函數」。即$f^{\ast}$為，當給定每個$c\in C$，我可以選擇某個$x\in h(c)$，以使得$f(c,x)$達到最大，那麼這個最大的$f(c,x)$就是關於參數$c$的值函數。

  在例子中，當麵對雨天時，最大的滿足程度就是5。此時背後暗含著一個麵對雨天這一參數而從雨天時的可行選擇（即蓑衣、雨傘與超能力防護罩)中進行最優化的過程。將值函數僅錶示成參數的函數是因為將這一最優化過程內化了。

最大化問題為：麵對每個給定的參數$c\in C​$，選擇可行的$x\in h(c)​$，以使$f(c,x)​$取得最大值。即：$\max f(c,x)​$ $s.t.x\in h(c)​$。而最大值定理考查的就是解對應所具有的性質，以及值函數所具有的性質。

Berge’s theorem of maximum

若目標函數$f(c,x)$連續，約束對應$h$為緊值的連續對應，則解對應$h^{\ast}$為緊值的上半連續的緊值對應，且值函數$f^{\ast}$連續。

解讀

當我們說約束對應連續時，是在要求，若參數有很小的變化，則可行集不會有太大的變化。並且，我們可以看到，盡管目標函數和約束對應都是連續的，但隻有值函數完整地繼承了連續性，而解對應隻繼承了上半連續。也可以這樣解讀：就算解對應不是下半連續的，當滿足一係列條件時，值函數仍可以是連續的。最大的滿足程度隻有一個值，但取得這個值的選項可以有多個。那麼當參數變化時，最大滿足程度這一值函數是連續變化的，但最優選擇可能會突然變成多個，那麼這時候最優選擇便不再是下半連續的。（等學會如何畫圖後應該補上圖。）

關於上/下半連續，常見的有序列定義方式和拓撲定義方式。還在考慮是否專門寫一篇討論對應（集值函數），如果寫的話應該會包括上/下逆（又稱強/弱逆），上/下半連續，凸/緊值，閉圖定理等內容。

證明

1. 證明解對應$h^{\ast}​$為緊值的。

   (1) 非空。在我們的假設中，約束對應$h​$是緊值的，即$h(c)​$為緊集，$x​$是從$h(c)​$裏選擇的，目標函數​$f(c,x)​$是連續的。因此，根據Weierstrass定理，​$f(c,x)​$有最大值，即​對於某個$x^{\ast}​$有$f^{\ast}(c)=f(c,x^{\ast})​$，而使得$f(c,x)​$取最大值的這個$x^{\ast}​$便是最大元$x^{\ast}\in h^{\ast}(c)\subset h(c)​$。因此$h^{\ast}​$非空值。

   (2) 閉值。而根據假設，$f$是連續實值函數，函數的取值$f(c,x^{\ast})$為單個點(單點集)，而單點集是閉集。根據連續函數的性質，值域中的閉集，其原像亦為閉集，因此$h^{\ast}(c)$是閉集。

   (3) 緊值。$h^{\ast}(c)$是最優選擇，而它既然是最優選擇必須首先是可行選擇，即$h^{\ast}(c)\subset h(c)$。而根據假設，已知$h$為緊值的，即$h(c)$為緊集。上一步我們又知道，$h^{\ast}(c)$是閉集，而$h^{\ast}(c)$是$h(c)$的閉子集，而緊集的閉子集仍是緊集，因此$h^{\ast}(c)​$也是緊集。

2. 證明解對應$h^{\ast}​$是上半連續的。

   任選滿足$c_{k} \rightarrow c​$的序列$\{ c_{k}\} _{k}​$，根據選取規則$x_{k} \in h^{\ast}(c_{k}) ​$來組建序列$\{ x_{k} \} _{k}​$，而因為我們最開始已經錶明了$h^{\ast}​$是非空值的，因此這種選擇是可能的。

   當然同時也有$x_{k} \in h(c_{k})​$，因為最優選擇首先得是可行選擇。

   註：對於兩個度量空間$A​$,$B​$，對應$F:A\Rightarrow B​$，若$F​$既上半連續且緊值，則$A​$中任意序列$\{ a_{k} \} _{k}​$、$\{ b_{k} \} _{k}​$，若$a_{k} \rightarrow a​$，且對於每一項$k​$都有$b_{k} \in F(a_{k})​$，則：存在$\{ b_{n_{k}} \} _{n_{k}}​$為$\{ b_{k} \} _{k}​$的某一子序列，子序列收斂於某點$b​$（即$b_{n_{k}} \rightarrow b​$），且此點$b​$滿足$b\in F(a)​$。即：如果一路上每一步都滿足對應關係，那麼極限處也滿足。

   因此，我們假設中約束對應為連續且緊值，既然對應是連續的，它必然既上半連續也下半連續。我們先使用上半連續和緊值的條件。由這個對應上半連續且緊值，可知存在$\{ x_{k} \} _{k}​$的子序列$\{ x_{n_{k}} \} _{n_{k}}​$，滿足$x_{n_{k}}\rightarrow x^{\ast}​$對於某點$x^{\ast}​$，且$x^{\ast}\in h(c)​$。

   那些子序列$\{ x_{n_{k}} \} _{n_{k}}​$伴隨的$\{ c_{n_{k}} \} _{n_{k}}​$本身也就是$\{ x_{k} \} _{k}​$的子序列。

   然後我們使用約束對應$h$為下半連續的概念。因為$h$為下半連續，因此必然存在某個序列$\{ z_{n_{k}} \} _{n_{k}}$滿足$z_{n_{k}}\in h(c_{n_{k}})$且$z_{n_{k}}\rightarrow z$，存在某個$z$。

   現在我們有了條件$x_{n_{k}}\rightarrow x^{\ast}$，$x_{n_{k}}\in h(c_{n_{k}})$，且$x_{n_{k}}\in h^{\ast}(c_{n_{k}})$，同時$z_{n_{k}}\rightarrow z$，$z_{n_{k}}\in h(c_{n_{k}})$，但未要求$z_{n_{k}}$是否屬於$h^{\ast}(c_{n_{k}})$。所以對於每一項$n_{k}$，我們都有$f(c_{n_{k}},x_{n_{k}})\geq f(c_{n_{k}},z_{n_{k}})$，因為除了$x_{n_{k}}\in h(c_{n_{k}})$之外我們還知道$x_{n_{k}}\in h^{\ast}(c_{n_{k}})$，它是最優選擇那麼它帶來的取值至少不會比任何其他選擇所能帶來的差。而根據假設，目標函數$f$為連續函數，因此$f(c,x^{\ast})\geq f(c,z)$，也就意味著$x^{\ast}\in h^{\ast}(c)$。

   現在我們有了條件$c_{n_{k}}\rightarrow c$，$x_{n_{k}}\rightarrow x^{\ast}$，$x_{k}\rightarrow h^{\ast}(c_{k})$（當然也就有$x_{n_{k}}\in h^{\ast}(c_{n_{k}})$），而$x^{\ast}\in h^{\ast}(c)$。齊活了，$h^{\ast}$為上半連續。

3. 證明解對應是緊值的。

（待補充）

4. 證明值函數$f^{\ast}​$是連續的。即要證明任給$c_{k}\rightarrow c​$，有$f^{\ast}(c_{k})\rightarrow f^{\ast}(c)​$。

   首先，任選$\{ c_{k} \} _{k}$滿足$c_{k}\rightarrow c$對於某個$c$，那麼它的子序列$\{ c_{n_{k}} \} _{n_{k}}$也有$c_{n_{k}}\rightarrow c$。

   然後，如果允許$+\infty$和$-\infty$分別作為$\lim\sup$或$\lim\inf$而存在，那麼任意實序列$\{ x_{k} \} _{k}$都存在子序列$\{ x_{n_{k}} \} _{n_{k}}$收斂於$\lim\sup x_{k}$。因此，存在$\{ f^{\ast}(c_{n_{k}}) \} _{n_{k}}$為$\{ f^{\ast}(c_{k}) \} _{k}$的子序列，滿足$f^{\ast}(c_{n_{k}}) \rightarrow \lim\sup f^{\ast}(c_{k})$。

   接著，根據選取規則$x_{n_{k}}\in h^{\ast}(c_{n_{k}})$來選取序列$\{ x_{n_{k}} \} _{n_{k}}$，那麼就有$f(c_{n_{k}},x_{n_{k}})=f^{\ast}(c_{n_{k}})$。

   我們利用前兩步得出的結論，即解對應為緊值的且上半連續的，再利用一路上每一步都滿足對應關係則極限處也滿足，可知存在$\{ x_{m_{n_{k}}} \} _{m_{n_{k}}}​$為$\{ x_{n_{k}} \} _{n_{k}}​$的子序列，滿足$x_{m_{n_{k}}}\rightarrow x^{\ast}\in h^{\ast}(c)​$。而相應於$x_{m_{n_{k}}}​$的$c_{m_{n_{k}}}​$構成了$\{ c_{n_{k}} \} _{n_{k}}​$的子序列$\{ c_{m_{n_{k}}} \} _{m_{n_{k}}}​$。

   現在我們有$f^{\ast}(c_{m_{n_{k}}})=f(c_{m_{n_{k}}},x_{m_{n_{k}}})$，且$f^{\ast}(c)=f(c,x^{\ast})$，而$f$是連續函數，則根據$c_{m_{n_{k}}}\rightarrow c$和$x_{m_{n_{k}}}\rightarrow x^{\ast}$可知$f(c_{m_{n_{k}}},x_{m_{n_{k}}})\rightarrow f(c,x^{\ast})$，嫁接一下就是$f^{\ast}(c_{m_{n_{k}}})\rightarrow f^{\ast}(c)$。

   而前麵我們已經知道$f^{\ast}(c_{nk})→\lim\sup f^{\ast}(c_{k})$，而$f^{\ast}(c_{m_{n_{k}}})$本身是$f^{\ast}(c_{n_{k}})$的子序列，因此有$f^{\ast}(c_{m_{n_{k}}})\rightarrow\lim \sup f^{\ast}(c_{k})$，上一步又有了$f^{\ast}(c_{m_{n_{k}}})\rightarrow f^{\ast}(c)$，在歐氏空間中極限若存在必唯一（實際上在Banach空間中都這樣，不過這就扯遠了），因此有$\lim\sup f^{\ast}(c_{k})=f^{\ast}(c)$。同樣的步驟再來一遍，有$\lim\inf f^{\ast}(c_{l})=f^{\ast}(c)$，而$f^{\ast}(c_{n})$的上下極限都是$f^{\ast}(c)$，因此它的極限就是$f^{\ast}(c)$。

   現在我們已經具備了$c_{k}\rightarrow c$，而$f^{\ast}(c_{k})\rightarrow f^{\ast}(c)$，故而值函數$f^{\ast}$連續。□

   引申

   推論 1

   如果存在某個關於最優解 $h^{\ast}(c)$ 連續的函數 $g(h)$，那麼當 $h^{\ast}(c)$ 是上半連續的最優解對應，并且對於每個 $c$ 選取 $h^{\ast\ast}(c)=\arg\max_{h^{\ast}(c)} g(h)$ 使得 $h(c)$ 對於每個 $c$變爲單點集, 則 $g(c)=g(h^{\ast\ast}(c))$ 關於參數 $c$ 是上半連續的。

   推論 2

   如果對於每個參數 $c$ 來說最優解 $h^{\ast}(c)$ 都是唯一的，則上半連續的最優解對應變為連續的最優解函數。

   例如，在經典的消費者理論中，如果額外的條件使得消費者的最優選擇唯一 (例如效用函數為嚴格凹函數)，那麽上半連續的需求對應將變爲連續的需求函數。

   Berge’s theorem of maximum 加强版

   若目標函數$f(c,x)$連續且關於選擇變量擬凹，約束對應$h$為緊值且凸值的連續對應，則解對應$h^{\ast}$為緊值且凸值的上半連續對應，且值函數$f^{\ast}$連續。

   證明

   1. 解對應為凸值的。

   2. 其他部分無需改變。

   Inverse of the Berge Maximum Theorem/Komiya Theorem

   任給 $C\subset\mathbb{R}^{l}$，令 $h^{\ast}:C\Rightarrow\mathbb{R}^{m}$ 為非空緊凸值、上半 (hemi) 對應，則存在連續函數 $f:C\times\mathbb{R}^{m}\rightarrow\lbrack 0,1\rbrack$，使得

   (i) $h^{\ast}(c)=\{ x\in\mathbb{R}^{m}:f(c,x)=\max_{z\in\mathbb{R}^{m}}f(c,z) \},\forall c\in C$

   (ii) $\forall c\in C$，函數 $f(c,x)$ 對於 $x$ 都是擬凹函數

   解讀：如果我們將 $h^{\ast}$ 視爲某個最大化問題的最優解對應 (例如需求對應)，那麽可以找到某個連續且關於選擇變量擬凹的目標函數 $f$ (例如找到一個參數依賴的效用函數) 使得 $h^{\ast}$ 恰巧也是關於 $f$ 的最大化問題的最優解對應 (即可以找到某個效用函數，包含了需求對應中所蘊涵的所有信息)。

   爲了證明逆最大值定理，我們需要引入幾個引理。

   引理 1

   任給 $C\subset\mathbb{R}^{l}$，令 $h^{\ast}:C\Rightarrow\mathbb{R}^{m}$ 為非空緊凸值、上半 (hemi) 對應，則存在非空緊凸值、連續對應 $\{ A_{n} \}_{n=1}^{\infty}$ 其中 $A_{n}:C\Rightarrow\mathbb{R}^{m}$ 使得對於每個 $c\in C$，都有

   $$h^{\ast}(c)\subset A_{n}(c)\subset A_{n^{\prime}}(c),\forall n^{\prime}>n$$

   且

   $$h^{\ast}(c)=\bigcap_{n=1}^{\infty}A_{n}(c)$$

   引理 2

   任給 $C\subset\mathbb{R}^{l}$，令 $A:C\Rightarrow\mathbb{R}^{m}$ 為非空緊值、下半 (hemi) 對應，則對於任何 $c\in C$ 以及 $\epsilon>0$，都存在 $\delta>0$ 使得

   $$A(c)\subset A(c^{\prime})+B(0,\epsilon),\forall c^{\prime}\in B(c,\delta)\cap C$$

   引理 3

   任給 $C\subset\mathbb{R}^{l}$，令 $A:C\Rightarrow\mathbb{R}^{m}$ 為非空緊值、下半 (hemi) 對應，則對於任何 $\epsilon>0$，若定義 $A^{\epsilon}:C\Rightarrow\mathbb{R}^{m}$ 為

   $$A^{\epsilon}(c)=A(c)+B(0,\epsilon),\forall c\in C$$

   則 $A^{\epsilon}$ 在 $C\times\mathbb{R}^{m}$ 中有開圖。

   逆最大值定理的證明

   (待補充)

   Berge 最大值定理的應用

   效用最大化問題：參數嚮量為收入、價格。（待補充.201901282045）；

   Berge 最大值定理 + Kakutani 不動點定理 = 納什均衡存在性定理。

   逆最大值定理的應用

   逆最大值定理 + 納什均衡存在性定理 = Kakutani 不動點定理。

Reference

• Ok, E. A. (2007). Real analysis with economic applications(Vol. 10). Princeton University Press.

• Sundaram, R. K. (1996). A first course in optimization theory. Cambridge university press.

• KOMIYA, Hidetoshi. Inverse of the Berge maximum theorem. Economic Theory, 1997, 9.2: 371-375.