不求甚解學經濟-信息設計(A2)-一些賽侷理論與信息經濟學

信息設計學習筆記係列。

知識

世界狀態集 $\Omega$ ,定義在世界狀態集上的 $\sigma$ 代數 $\Sigma$ 。參與人 $i\in I$ 配置一個從世界狀態集到 $\sigma$ 代數集上的映射 $\Pi_{i}:\Omega\rightarrow\Sigma$ 使得 $\Pi_{i}(\Omega)$ 是 $\Omega$ 的一個分割，即，對於每個 $\omega\in\Omega$ ，都指定一個 $E\in\Sigma$ (或者，等價地， $E\subset\Omega$ )，并且 $E\cap E^{\prime}=\varnothing,E^{\prime}\neq E$ 以及 $\cup_{E}=\Omega$ 。稱 $\Pi_{i}$ 為分割函數。

定義參與人 $i$ 的知識函數 $K_{i}:\Sigma\rightarrow\Sigma$ 為

$K_{i}(E)=\left\{ \omega\in\Omega:\Pi_{i}(\omega)\subset E\right\},\forall E\in\Sigma$

即如果 $\omega\in K_{i}(E)$ 表示，如果世界狀態是 $\omega$ (參與人可以知道這一點，也可以不知道這一點；通常來説，參與人不知道這一點) 那麽參與人 $i$ 知道事件 $E$ 發生了。(即使參與人 $i$ 不知道真實世界狀態就是 $\omega$ ，這個參與人仍然可以知道事件 $E$ 發生了，只要 $\omega\in K_{i}(E)$ 滿足)。

不同的信息傳遞博弈

Sender Reciever Game

任何單個發送者-單個接收者的信號傳遞模型都可以被稱爲 Sender Reciever Game。

Cheap Talk

發送者觀察到真實世界狀態，並嚮接收者傳遞一個依賴與發送者自己的私人信息的信號以通過影響接收者的行爲而間接地最大化發送者自己的效用，信號的潛在可能集可以是任何集合而不必等於世界狀態集 (即，傳遞信號的“語言”可以不必是告訴接收者世界狀態可能是什麼)。發送者所傳遞的信息，并不直接進入發送者和接收者中任何一個人的效用函數 (因此發送者對信號的選擇，只能借由接收者的行爲而間接地影響發送者自己的效用)。接收者可以相信也可以不相信發送者所傳遞的信號。在這個框架下，發送者没有承諾力，可以説謊也可以不說謊，並且接收者也知道這一點，發送者也知道接收者知道這一點，以此類推。因此，發送者麵臨著很強的激勵相容約束，若某個信號能讓發送者以正的機率被發送者發送，那它帶給發送者帶來的期望效用必須與其他那些以正機率發送的信號相同，即以正機率被發送的信號對於發送者來說必須是無差異的。在基準模型 (Crawford and Sobel, 1982)中，發送者與接收者的偏好有一個偏差，并且發送者所傳遞的信號并不引致任何成本 (信號生成成本、傳遞成本或撒謊成本)，同時信息的内容是不可驗證的。更一般地，如果成本不隨著發送者的私人信息以及信號的内容而改變，那麽仍然可以通過標準化使其等同於無信息成本模型。經典的議題是 “interval disclosure” 或也被称为 “partition equilibira”。可以拓展至多維度模型 (Chakraborty and Harbaugh, 2010)、有成本模型 (AUSTEN-SMITH, 1994)、多發送者或多接收者模型等。當發送者的效用是狀態依賴的，其能實現的最高事前期望效用可以通過擬凹化解得到 (Lipnowski & Ravid, 2019)。

在 Cheap Talk 中，發送者與接收者之間的（部分）利益一致性使得（部分）有價值的信息在均衡中被傳遞成爲可能。

Disclosure Game

發送者觀察到真實世界狀態，信號的内容在事後是可驗證的。經典的議題是 “unraveling equilibrium”。例如，如果接收者瞭解到，發送者自己是知曉真實狀態的，并且預期發送者所發送的任何信號都出自於其自利，那麽對於發送者所傳遞的任何信息，接收者都會報以最大的懷疑：沉默即代表隱瞞。而發送者預期到接收者會報以這種態度，并且其所傳遞的任何信息在事後都是可驗證的，那麽發送者將會完全披露信息。

在 Disclosure Game 中，發送者的信息的可驗證性使得有價值的信息在均衡中被傳遞成爲可能。

Costly Transmission Game

信號的傳遞是有成本的。可以嵌套進其他模型。

**在 Costly Signaling 中，發送者信號發送的有成本性使得有價值的信息在均衡中被傳遞成爲可能。**例如，確確實實地花費接受教育的成本、損失了幾年的工資收入這一點使得發送者“我是高能力者”的信號具有可信性。

Signaling Game

這是一種 Costly Transmission Game，要求信號是有成本的，并且這個成本是狀態 (類型) 依賴的，以使得每種類型或部分類型的發送者由於這個成本而無法模仿適合其他類型發送者的信號。經典的例子是，對於低能力勞動力來説，因僞裝成高能力者而帶來的收入增加不足以補償這個僞裝行爲 (追求不適合自己的教育水平) 而帶來的更高成本。

Mediated Game or Mediated Talk

發送者嚮一個中介者 (可以是某個非策略參與人，也可以是個機器) 傳遞信號，中介者根據某組條件機率的信號生成機製，輸入從發送者那裏得到的信號，輸出另外一個信號，這兩個信號的潛在可能集也不必相同，然後把這另外一個信號傳遞給接收者。發送者能夠實現的事前期望效用可以通過虛構勸說問題的凹化解得到 (Salamanca, 2021)。中介者的一個例子就是 Aumann (1974) 中實現相關均衡的那個協調工具。當中介者只能在原博弈開始前向參與人發送信息時,相應的解概念是 normal form 相關均衡;當中介者除在原博弈開始前還能在每一期向參與人發送額外的信息,相應的解概念是 extensive form 相關均衡;當中介者和參與人可以在每期雙向發送信息 (即中介者不僅是協調工具,同時也是信息整合的工具時),相應的解概念是 communication equilirium,前兩者是施加了限制版的 communication equilirium,詳見 Forges (1986).因此,也會有分析研究,是否能夠僅僅通過參與人之間直接的 Cheap Talk 來實現當存在中介者時能實現的 communication equilirium,如 Ben-Porath (1998), Gerardi (2004).那種既充當協調工具也充當信息整合設備的中介者 (即中介者和參與人雙向傳遞信息)，在 Mechanism Design 中被稱爲 General Communication Device,見 Forges (1986) 和 Solan (2001).

Bayesian Persuasion

發送者可以觀察到也可以觀察不到真實世界狀態，重要的是發送者在真實世界狀態揭曉之前承諾 (因此即使發送者未來能觀察到真實世界狀態，也無法更改) 一個信號生成機製 (發送者在真實世界狀態揭曉之前選擇策略,這削減了發送者操作信號生成過程的能力,但仍然并未消除當發送者觀察到真實狀態之後扭曲信號實現的激勵,故而除非有法律等具有强制力的外部機制或長期的聲譽機制等存在,仍需要發送者在事中仍無法觀察到真實世界狀態才會消除扭曲信號實現的激勵.現有文獻已經對此做出了拓展,考慮發送者向接收者傳遞的信號與發送者自己所觀察到的信息不一致,并且這種扭曲會引致成本時的情況,見 Nguyen and Tan, 2021)，而真實世界狀態通過這個信號生成機製自動轉換為一個信號實現，並將這個信號實現傳遞給接收者。發送者不麵臨任何激勵相容約束。發送者能實現的最高事前期望效用可以通過凹化解得到 (Kamenica & Gentzkow, 2011)。在這個框架裏，發送者不能扭曲信號，但可以采用任何一種具有部分或全部精確程度 (以條件概率衡量) 的信號披露機制。

在 Bayesian Persuasion 中，發送者具有的 commitment power 使得有價值的信息在均衡中被傳遞成爲可能。

Repeated Interaction

聲譽考慮使得有價值的信息在均衡中被傳遞成爲可能。

Information Design

虛擬或現實存在的信息設計者，爲了實現某個目標 (獨裁者的個人目標或社會福祉汎函都可以) 而傳遞信號，以使得接收者們在接收到或者公共或者私人的信號后，采取各自自利的行動，所實現的均衡結果，恰好是信息設計者本來想要達成的目標。解讀方式可以多種多樣，比如，信息設計者是所有個體接收者聯合設立的一個程序，這個程序可以有助於實現所有個體的聯合福利；信息設計者可以是已經在位的某個獨裁者，通過操縱信息以及接受們之間的策略性互動而實現獨裁者在位時間或物質享受的最大化；信息設計者可以是所有個體接收者聯合設立的一個程序，這個程序包含一個信號生成傳遞的子程序和另一個均衡選擇的子程序，其作用會使得接收者們所能遭遇的最大金融風險最小化。等等。

信息設計不僅包括 Bayesian Persuasion，Cheap Talk、Verifiable Disclosure 等框架都可以嵌入信息設計裏。

只要在均衡中，有價值的信息可以被傳遞，那麼都可以實現“勸說”的目的：即使接收者知道，發送者傳遞信息是爲了改變自己的信念，接受者也願意將發送者所傳遞的信息納入考慮。

不同的信息處理框架

信息獲取

如 Bayesian Persuasion。獲取關於世界狀態的信息。

信息提取

如 Mechanism Design 和 Screening 等，機制設計者或不具有信息優勢的一方獲取關於具有信息優勢一方的私人信息。在 Mechanism Design 中，機制設計者并不知曉參與人們所擁有的分散信息，但可以通過設計一個機制來實施某個給定的社會福祉汎函，一般機制由兩個部分組成，第一個部分是各個參與人所能夠匯報的各自可能集們的卡式積，第二個部分是一個賦參與人們所選定的匯報組合以備選結果的汎函。其中參與人的匯報就是機制設計者所提取的信息，它可以是直接匯報形式，也可以是其他的某些 (會間接地反映出該參與人私人信息的) 行動。機制設計就是在對社會福祉汎函做分解，將社會福利汎函分解成兩個汎函的複合：第一個汎函將分散的信息映射為某些均衡結果 (或非均衡的解概念，如占優策略組合)，第二個汎函將均衡結果映射為備選結果，而“信息提取”過程可以是顯性的，也可以是隱性的，在隱性信息提取中，無需明確地知道分散信息是什麽，只要保證在各種可能的分散信息組合情況下都能實施社會福祉汎函所要求的結果就好了。Screening 的例子則是自選擇：不具有私人信息的一方設定一個由各種合約構成的菜單，這個菜單要使得不同類型的具有私人信息一方自利地從菜單中選擇為其量身定制的那一項。

信息傳遞 (狹義)

如各種 Sender Reciever Game，包括 Cheap Talk、Mediated Talk 和 Signaling 等。由具有信息優勢的一方向不具有私人信息的一方傳遞信息，如果將發送者 “獲取關於世界狀態信息的能力” 也視爲信息優勢，那麽 Bayesian Persuasion 也可以歸入此類。

信息整合

如 Communication Game。其中各個參與人互相交換各自具有的私人信息。通常來説，如果將當機制設計者或信息設計者理解為虛擬體或由參與人聯合設立的程序時，這個設計者就是參與人們整合私人信息的一個工具。

引入不確定性 (也許不應算作信息處理模型)

爲了實現比如對參與人們行爲的協調，引入不確定性。例如，在本來具有完備信息的環境中引入不確定性，從而引致相關均衡 (在擴大后的博弈中的納什均衡)，以實現在本來的完備信息環境下原博弈的納什均衡中無法實現的帕累托改進。這個“協調”一詞是廣義的，可以指使得參與人們都選擇同一個行動 (即狹義“協調”)，也可以指參與人們選擇不同的行動 (例如經典的 Chicken Game 中的副對角綫支付矩陣)。

一些術語

State/Type

這是海撒尼對不完備信息賽侷的建模方式，我們將在其他地方對其進行詳述。在我們的使用中，“世界狀態”和“發送者類型”通常 (在經過恰當的重新定義以後) 是等價的。例如，如果不確定性僅來自於發送者產品質量的高低，那麽在類型的語言裏“高”和“低”就分別對應著世界狀態語言裏“產品質量高”和“產品質量低”；如果不確定性僅僅來自於非博弈方被起訴人是否真的有罪，那麽發送者 (公訴人) “面對一個有罪的被告人”和“面對一個無辜的被告人”的類型就與“嫌疑人有罪”和“嫌疑人無辜”的世界狀態等價。儘管實際分析中，這種對應關係未必如此直白。

Signal Factor

有些文獻 (例如委托-代理模型) 中以不同的方式定義貝葉斯更新。以兩狀態-兩信號離散模型爲例：

$\frac{\text{prob}(\theta=1;s=1)}{\text{prob}(\theta=0;s=1)}=\frac{\text{prob}(s=1;\theta=1)}{\text{prob}(s=1;\theta=0)}\cdot\frac{\text{prob}(\theta=1)}{\text{prob}(\theta=0)}$

其中 $\frac{\text{prob}(\theta=1)}{\text{prob}(\theta=0)}$ 稱爲先驗似然比， $\frac{\text{prob}(\theta=1;s=1)}{\text{prob}(\theta=0;s=1)}$ 稱爲後驗似然比， $\frac{\text{prob}(s=1;\theta=1)}{\text{prob}(s=1;\theta=0)}$ 稱爲信號因子。將前式取對數，可以得到貝葉斯更新的另一種表達式：

$\text{log}(\text{後驗似然比})=\text{log}(\text{先驗似然比})+\text{log}(\text{信號因子})$

或

$\text{後驗對數似然比}=\text{先驗對數似然比}+\text{對數信號因子}$

當存在多組信號時，只需連乘每組信號相應的信號因子，對數形式時為連加。

貝葉斯更新的鞅性質

解讀：後驗信念的期望等於先驗信念；給定信號實現，某個貝葉斯更新過程會出現的概率為0；信念更新是不可預測的。

參與人知道，當新信息到來後，自己的信念也許會改變，但無法提前知道將會向哪個方向變化：信念變動的期望為零。如果他能提前獲知信念將會如何變化，他現在就會改變信念，而不會等到新信息到來以後再更新。

貝葉斯更新的鞅性質來源於條件概率的鞅性質，不依賴於任何世界狀態空間或信號的設定。除了信念以外，很多概念 (只要是以條件概率的形式出現) 也具有鞅性質，一個常見的應用是：有效市場假説，即套利是不可能的。

根據鞅收斂定理，貝葉斯理性參與人的信念作爲鞅是終究會收斂的：即使有無窮持續的新信息出現，信念的持續波動也是不可能的。

有界信號

不會使得後驗信念趨近於或等於 0 或 1 的極端值的信號 (或者説使得後驗信念 bounded away from 0 and 1 的信號)，稱爲有界信號。常見的例子如二元信號 $s=0\text{ or }1$ ，或一般地有限值信號等，在某些設定下，有界信號可以使得先驗信念成爲完全的決策依據；但高斯信號 (或稱爲正態信號) 則不是有界的，有可能只需一步便使得後驗信念退化為確定性的 (但高斯信號根據定義不會使得後驗信念的精確度下降，無法通過傳遞信號來模糊接收者的信念，因此可以結合二元信號和高斯信號，構造一個二元但誤差項為正態的信號，同時具備無解信號和允許精確度下降的性質)。用信號因子的語言來説，如果存在某個 $M<\infty$ ，使得 $\forall t$ ， $\text{absolute value}(\text{對數信號因子}_{t})< M$ ，則稱這一系列信號因子背後的信號為有界信號。在二元信號中，每一期的對數信號因子要麽是 $\frac{1-q_{1}}{q_{0}}$ 要麽是 $\frac{q_{1}}{1-q_{0}}$ ，所以是有界的。後驗信念本身是個概率，所以有界信號的結果是不會使得後驗信念取得 0 或 1 的極端值，如果用後驗似然比或對數後驗似然比來看，則是不會取到無窮值。

期間獨立信號

信號在各期之間是彼此獨立的，此時過去信號的歷史可以被整合進一個當期信念中，當期信念是過去歷史的充分統計量。如果信號在各期之間不是彼此獨立的，例如 $s_{t}=z_{t}+z_{t-1}$ ，則當期信念所包含的信息少於過去信號歷史所包含的信息。

極化 (Polarization)

相同的信號實現卻使得參與人的後驗信念向更爲極端的 (因此需要序結構) 世界狀態變化，而更為中位的世界狀態的後驗信念下降，通常某個參與人的後驗信念會向先驗信念的方向强化得更明顯。例如，世界狀態為適合左中右的政策環境，兩個參與人 A 和 B 分別是左派和右派，則同一個極化信號傳遞之後，A 對環境更適合左派政策的信念提高，對環境更適合右派政策的信念也提高儘管沒有對左派的提高得那麽多；B 對環境更適合右派政策的信念提高，對環境更適合左派政策的信念也提高儘管沒有對右派的提高得那麽多，A 和 B 同時認爲環境適合中間派政策的幾率比先驗下降了。極化的出現需要三個以上的潛在世界狀態。

Partition Equilibrium

世界狀態被分割成一些 (分割意味著這些區間彼此不相交，并且其并集為整個世界狀態集) 區間，每個區間對應發送者的某個信號，區間與信號是一一對應的，則稱此時發送者所采取的策略為 Partitional Disclosure，均衡为 Partition Equilibrium。區間的確定方式為：給定發送者的真實類型是相鄰兩個區間的相鄰処的那個端點的類型，那麽發送者發送更低的那個區間所對應的信號，和發送者發送更高的那個區間所對應的信號，所引致的接收者的兩個行爲，對於這個端點類型的發送者是無差異的。在這種均衡裏，同一區間内的類型是 pooling 的，不同區間之間是 seperating 的。

Interval Rule

將概率取值空間 (即 $[0,1]$ ) 分割成互不相交、其并為全集的子區間族，其中的每個區間對應一個行動。如果某個參與人采用了 Interval Rule，那麽當他的後驗信念落在子區間族的某個區間時，采用該區間相應的行動。對於兩個相鄰區間的斷點，可以采用比如在兩個區間所對應的行動之間做1/2-1/2的隨機。

Influential Equilibirum

當發送者的不同信號至少引致接收者的兩種不同行爲，并且引致其中一個行爲的信號不會同時引致另一個行爲，則稱此時所形成的均衡為 Influential Equilibirum。這意味著 Influential Equilibirum 至少得是一個由兩個區間組成的 Partition Equilibrium。

Unraveling Equilibrium

當發送者完全傳遞自己所擁有的所有私人信息，在不同世界狀態/類型下，接收者的後驗信念坍塌成單點的確定性推斷，則稱此時所形成的均衡為 Unraveling Equilibrium。

Skeptical Belief

面對發送者所傳遞的任何信號，接收者選取那些與發送者的信號具有一致性的推斷中對於發送者來説最不利的那一個。比如發送者采取 Partitional Disclosure，并且接收者的最優行爲關於世界狀態是單調遞增的，那麽當發送者使得接收者相信真實世界狀態位於某個特定區間時，接收者認爲真實世界狀態就是這個區間的左端點。

Multidimensional Space

世界狀態/類型有多個維度。例如發送者為推銷員，接收者為潛在顧客，則世界狀態的每個維度可以是一件商品的不同屬性，如價格、易用性、耐用性等等。當世界狀態有多個維度時，爲了説服接收者接受發送者的勸説，發送者會在不同的維度之間權衡，使得某些維度的信息得到更大程度的披露。

Reciever Uncertainty

有時，不僅僅是某個機制所產生的結果會傳遞信息，采取某個機制這個行爲本身也會傳遞信息，這通常發生在接收者知道發送者是在知道了真實狀態之後才選擇機制的情況下。此時，爲了最大化 (至少是某些類型的) 發送者的效用，需要讓接收者保持在一種“不能通過哪個機制被選擇了這一事實做出推斷，而僅僅能依賴於機制所產生的結果進行推斷”的狀態；另外，如果發送者可以選擇是否獲取真實世界狀態，那麽 (至少是對於某些類型的) 發送者使得接收者無法確定發送者是否選擇了獲取真實世界狀態的相關信息將對 (某些類型的) 發送者有利。接收者的這種狀態被稱爲 Reciever Uncertainty。

Herds

當參與人按序列行動，并且每個參與人都能觀察到之前行動的參與人所采取的行爲 (但不能觀察到之前參與人据之以采取行爲的私人訊息) 時，他們將會模仿之前參與人的行爲 (基於“認爲之前行動的參與人可能擁有使得他們做出如此行爲的私人訊息，并且之前行動的參與人一定是做出了符合他們利益的理性選擇”，進一步地，如果之前至少兩個人選擇了同樣的行爲，那麽在適當的假設下，多個參與人選擇了同一個錯誤行爲的概率將趨近於零)。Herding 的存在並不需要假設有一個發送者或信息設計者，但與納入發送者或信息設計者的框架可以是一致的。這種情況下，社會學習是失敗的：行動序列中的每個人都做出相同的行爲；但 Herding 和 Complete learning 可以是共存的：在同一個模型的不同參數區間，或者同一個模型的同一套參數賦值下各自以一定的概率出現。

Commitment

如果一方能在事先承諾某個策略，并且即使隨著時間的推移發現偏離更有利，但仍然不能偏離，則稱這一方有承諾能力。

通常來説，承諾能力是從假設上排除了時間不一致問題，但并不是真的解決了時間不一致問題。Bayesian Persuasion Literature 采用發送者具有承諾能力的假設，Resisting Persuasion 那篇文章考慮了如果接收者也有承諾能力時的情形。如果偏離是有成本的，或者一方更重視長期的折現和，等等情況可以内生地解決承諾問題：此時承諾能力本身是最優化的結果，而非外來施加的假設。比如，在動態最優稅收文獻中，政府可以補貼投資，從而使得對“長期資本稅趨於0”這一有承諾能力時的最優稅收策略的偏離不再有利可圖 (此時因爲對投資的補貼，資本過度積纍，更高資本帶來的更低資本回報率以及更低的資本稅收入，這將使得此種偏離不划算，Benhabib and Rustichini, 1997)。又如，政府激起民衆對境外敵對勢力的仇恨，將對本國政府和外國政府帶來的更高的潛在戰爭風險，這會爲本國政府帶來更大的談判能力，從而“堅決要求對方讓步，否則後果自負”這一主張將變得更有承諾能力 (Ding, 2019)。如果存在“占優”策略，無論將來的私人信息如何，這個策略都是最優的，并且其他參與人也知道這一點，那麽無需承諾假設，這個策略也是可信的。

當考慮參與人的個人理性約束 (或者更恰當地，參與約束) 時，事後個人理性要求結果公佈后參與人仍然參與分配，這不要求任何承諾 (承諾接受分配結果) 的能力；事中個人理性要求參與人知道自己的類型之後但并未參與博弈之前願意參與 (也可以不願意參與，但一旦願意參與就要認賭服輸) 分配，這要求一定的承諾能力 (你是根據私有信息做了期望效用最大化的，需要願賭服輸)；事前個人理性要求最强的承諾能力：我承諾，當我擁有私人信息 (知道自己的類型之後) 以及不論何種博弈結果實現，我都不會反悔。(“我承諾”是一個例子，可以是外部法律等强制力)。隨著個人理性的約束從事後、事中變爲事前，參與約束愈發易於滿足，但所要求的承諾能力越來越强。

當發送者具有承諾能力時，均衡條件無需考慮發送者的激勵相容約束；當發送者不具有承諾能力時，均衡條件相對於前者需要額外施加關於發送者的激勵相容約束。

承諾能力還可以有多種層次，例如：在動態委托-代理模型中，委托人可以擁有不會單方面改變契約的承諾能力，但同時不擁有不會進行再談判的承諾能力。一般來説，只有在完全承諾能力的情形下，顯示原理才是有效的。承諾能力允許更多的契約/分配方式可以被事前執行，即使是那些在事中看來并非帕累托最優的配置。直覺理解是，承諾能力將可事前實行的分配方式上施加了類似於“動態/時間一致性”等限制。

Rachet Effect

棘輪效應。在信息經濟學裏，指一旦參與人透漏出了關於自己類型的信息，則其他參與人或設計著可能會利用這一點，並在隨後的行爲期内利用這一點而獲利。常見的例子如：頻繁購買同一商品顯示出了該參與人對這一商品的偏好，從而商家可能會“殺熟”。

棘輪效應來自於信息的一個特性：一旦獲取了某一信息，無法使人恢復到不具有該信息之前的狀態。(但這并不排除新信息的加入將參與人的主觀信念扭轉回去的情形)

Coase Theorem/Coase Definition

科斯定義：在產權界定清晰的前提下，任何使得多邊自願談判無法實現社會最優的因素均可被稱爲“交易成本”。例如，不對稱信息。

公共信念

第 t 期的公共信念，即是以從开始直到第 t-1 期的公共信息為條件的、關於世界狀態的條件概率。如果之前所有參與人的行動都是公開的，那麽第 t 期的公共信念與該在第 t-1 期行動參與人根據私人信息進行更新後的後驗信念相同。對於該在第 t 期行動的參與人來説，第 t 期的公共信念就是他的先驗信念。

中間信念

如果參與人有多個信息來源，并且各個信息抵達有先後順序，那麽信念更新的中間步驟得到的信念可以稱爲中間信念。例如，參與人既能觀察到前人的行動，又能觀察到私人信息，并且前人的行動先被觀察到，那麽參與人根據觀察到的行動和自己的先驗信念進行貝葉斯更新，得到中間信念(這個中間信念是這一步的後驗信念)；當隨後私人信息也被觀察到時，再根據私人信息和中間信念(這個中間信念是這一步的先驗信念)得到整個過程的後驗信念。

Cascades

參與人的行動不依赖于私人信息的現象，被稱爲 Cascades 或 Information Cascades (BHW, 1992)。使得參與人完全依賴於先驗信念來行動的信念子空間稱爲 Cascade Set。參與人仍然是根據後驗信念來計算期望效用的，但對於那些在 Cascade Set 中的先驗信念來説，無論什麽樣的私人信息被觀察到，據之以貝葉斯更新之後生成的後驗信念都不足以使其做出與僅僅依賴先驗信念時不同的行動。例如，每個參與人的效用都依賴於未知的世界狀態和一個固定的行動成本，并且第 t 期的公共信念 (即第 t 期行動者的先驗信念) 已經更新到使得無論第 t 期行動者無論接收到怎樣負面的信號，其所形成的後驗信念仍然比固定的行動成本要高，并且第 t+1 期行動者也知道這一點，那麽第 t 期行動者采取的行動就沒有任何信息價值，第 t+1 期的公共信念 (即第 t+1 期行動者的先驗信念) 與第 t 期的公共信念相同，同樣地每個人都預測到不論怎樣的負面消息都不會使第 t+1 行動者采取與第 t 期行動者不同的行動，以此類推，便可以説 Cascade 從第 t 期開始了。如果在某一期，參與人的私人信息範圍完全可以使他采取各種行動，比如如果是好的私人信號那麽可能高於固定成本，如果是坏的私人信號那麽可能低於固定成本，從而在每個人得到的信號都是私人信號、無法被其他人直接觀察到的設定下，其他人無法在這個參與人行動之前確定他將會采取哪種行動，那麽當他行動之後，并且每個人采取的行動都可以被觀察到，後面的參與人便可以從他的行動中獲取有價值的關於世界狀態的信息，這一期便沒有開始 Cascade。與 Herding 不同之處在於：Cascades 現象的出現依賴於參與人的信念，在 Cascade 出現後參與人必須無視任何私人信息并且僅僅依賴於先驗信念行動；但 Herds 允許行動序列中的參與人并未觀察到真實信息、或真實信息恰好與前人行爲一致、或其模仿行爲是權衡了前人行爲與私人信息后的最優決策只不過結果恰好是與前任采取相同行爲等等。這也意味著當無法提取到參與人的信念時，經驗研究是無法將二者區分開的 (因爲我們只能觀察到參與人們采取了相同的行爲，但無法獲知其各個參與人的決策依據)。在反事實思想實驗中：如果參與人獲取了某些較爲極端的私人信息，那麽 Herds 中的行爲可能會改變 (他們并不無視私人信息，相同行爲的“恰好”可能不再“恰好”)；而 Cascades 中的行爲不會改變 (本來他們也無視私人信息，無論私人信息變得多麽極端他們也不會改變行爲)：Herds 中的行爲對於極端私人信息是不穩定的，Cascades 是穩定的。從前述區別可以看出，只有無視私人信息的模仿行爲才是 Cascades，而只要是模仿行爲就可以是 Herds，所以 Cascade (其要求更爲嚴格) 可以推出 Herds，而 Herds (使其成立的情況更爲廣汎) 包括 Cascades。从某一期开始，當公共信念落在 Cascade Set 裏時，無需接下来參與人的任何行動，每個人都能事先預料到接下来的每個人都會采取一樣的行爲；但 Herds 的情況裏，參與人的行動是恰好相同的，因此在一個參與人行動之前，無法確定他會采取與前人相同的行動，Herds 是個事後的概念 (turn out to be the same)。在 Cascades 中，每個人都僅僅依據他自己的先驗信念行動，一旦 Cascades 開始，後續參與人的實際決策依據與前人無異 (因爲 Cascades 中的人之行爲并沒有任何信息價值，不會强化後位人的信念)；在 Herds 中，前人的行動會强化關於某一世界狀態的信念。

無視私人信息

Chamley (2020) 根據 Salop (1987) 提供了一個簡明易懂的例子：一座城市中有 90 per 的黃車和 10 per 的紅車，某個昏暗傍晚的一場車禍的某位見證者有 20 per 的幾率判斷錯誤 (也許因爲傍晚的昏暗光綫使他并未準確地分辨車輛的顔色)，這位見證者認爲自己看到的肇事車輛是紅色，如果這位見證者不知道 90-10 的顔色分佈 (其實就是 1/2-1/2 的先驗信念的意思)，見證者會報告自己認爲自己看到的肇事車輛顔色：紅色。但根據貝葉斯法則，在見證者報告紅車的條件下，真實肇事車輛為紅色的幾率為 4/13 < 1/2；如果見證者知道 90-10 的顔色分佈 (先驗信念)，那麽他會應用貝葉斯法則，并且不報告自己認爲自己看到的紅色而是報告自己推斷后更可能的顔色：黃色 (幾率為 9/13 > 1/2)。當存在多個見證者時，即使每個人都認爲自己看到的顔色是紅色 (私人信息)，但他們每個人都會匯報黃色，并且前一個人的匯報 (黃色) 會强化當前報告人報告黃色的行爲 (“一定是我看錯了，并且根據貝葉斯法則，應該就是黃色”)。但僅僅根據先驗信念中的 90-10 分佈，這些見證者的匯報并未提供任何有價值的信息 (本來也是黃色車輛更多)。但如果多個見證者中第一匯報的人並不知道 90-10 的分佈 (或者説其先驗信念并非 90-10, 而是 1/2-1/2)，并且説出了自己認爲自己看到的顔色：紅色 (依據自己的私人信息——見證——來作出匯報)，那麽他就提供了有價值的信息，對於第二位匯報的見證者來説，即使他知道 90-10 的顔色分佈，則對於第二個人來説他的“先驗”信念從 90-10 變成了 9-4 (9/13-4/13)，那麽當他進行貝葉斯更新后，給定他匯報紅色而肇事車輛真的是紅色概率變爲 8/13 > 1/2 而不再是各自獨立匯報時的 4/13。在這個例子裏，90-10 的先驗信念使得見證者無視自己的私人信息，而 1/2-1/2 的先驗信念使得見證者利用自己的私人信息。

用前面介紹過的術語來説，只有 “使得低於 1 的先驗似然比變成高於 1 的後驗似然比” 或 “使得高於 1 的先驗似然比變成低於 1 的後驗似然比” 的信號因子才能讓參與人不會無視自己的私人信息，其中跟 1 的比較關係是否、何時允許取弱不等式取決於每個模型具體的打破僵局的規則設定。

Good News

如果一組信號，使得當參與人觀察到這個信號后根據先驗信念進行貝葉斯更新后，對於某個狀態的後驗信念高於先驗信念，則稱這個信號對於這個狀態是個 Good News。例如，世界狀態為 H 或 L，信號可能集為 h 和 l，信號生成的條件概率為 $q_{h}=\text{prob}(h;H)$ 和 $q_{l}=\text{prob}(l;L)$ 。那麽對於任何先驗信念 $\mu_{0}(H)$ 來説，後驗信念為 $\mu_{s}(H)=\frac{\mu_{0}(H)q_{h}}{\mu_{0}(H)q_{h}+(1-\mu_{0}(H))(1-q_{l})}$ 。所以 $\mu_{s}(H)>\mu_{0}(H)$ 當且僅當 $q_{h}>1-q_{l}$ ，其中 $q_{h}$ 是準確地預告真實狀態為 H 的概率， $1-q_{l}$ 是將真實的 L 狀態錯誤報告為 H 的概率，所以 $q_{h}>1-q_{l}$ 就是這個例子中使得信號 $(q_{h},q_{l})$ 對於狀態 H 來説是好消息的充要條件，用前面介紹過的術語來説就是 “信號因子大於 1”，很自然地，大於 1 的信號因子會使後驗似然比大於先驗似然比；同樣地，條件 $q_{h}>1-q_{l}$ 等價於條件 $q_{h}+q_{l}>1$ , 即“該是 H 就説 H，不該是 H 就不説 H”這種準確性要足夠高，可以聯想統計學中的 Type I、II Error。在這個定義下，消息好不好是關於對某狀態的信念而言的，而不是對於參與人的效用而言的。

Second Best

對原問題額外施加激勵約束 (通常由激勵相容約束和參與約束組成) 之後，新問題被稱爲次優問題，新問題的最優解被稱爲次優解。在某些語境下，Second Best 對應於事中最優解，First Best 對應於 (滿足預算平衡的) 事後最優解。

不確定情形下的事前社會福利汎函為 $W(\mathbb{E}u_{1},...,\mathbb{E}u_{n})$

不確定情形下的事後社會福利汎函為 $\mathbb{E}W(u_{1},...,u_{n})$

Belief-based Approach

將發送者選擇信息結構的問題，轉化為在滿足後驗信念的期望等於先驗信念的約束下，選擇在接收者的後驗信念上的分佈的問題。

信息的特質

信息的考察是有成本的。
信息是通常是無法剝離的。一旦某一方獲取了某個信息，就很讓他不再擁有這個信息。
擁有某個信息是易於驗證的，但不擁有某個信息是難以驗證的。
信息被傳遞以後，發送信息的一方仍然擁有這個信息。
發送信息、操縱信念是影響行爲的工具，其本身可以不被當作目的。

群衆的形成

此處，“群衆”一詞即指“烏合之衆”，意即一切群衆均為烏合之衆。群衆的形成可以有多種方式：

Information Cascades or Herding

前面提到過了。此時從衆的行爲未必是有效的。但群衆的行爲是理性的，他們是基於觀察到的其他人的行爲來作爲自認爲 (對於決策者來説，自認爲就是決策的標準) 對自己有利的決定，儘管可能事後看來 it turns out to be wrong。

稅收或補貼

即機制設計裏中的支付轉移。

偏好一致性

太直白了，沒什麽好説的。

勸説

擁有獲取信息能力者或者擁有私人信息者通過勸説來影響多個接收者的行爲。此時從衆的行爲對於接收者未必是有效的，但對發送者是有利的。

互補性或網絡外部性

此時從衆行爲可以是有效的 (協調到產生正外部性的行爲上)。

補充

在決策者行動時，選項之閒對於他自己的優劣比較可以同時存在以上多種因素。例如在選擇是否采用某種傳真機的時候，其他人已經買了某個特定制式的傳真機這一點，既意味著他們的選擇可能意味著他們所選擇的制式質量更好，這是信息方面的因素；但可能只有同種制式 (儘管可能多個不同品牌都采用了同一制式) 之間是兼容的，因此采用多數人已經選擇的制式意味著自己將要選擇制式會更有用處，這是互補性的直接效益。但多種因素之間也可以是相互衝突的，比如在選擇去哪個餐館就餐的時候，已經有多位顧客都選擇了某一餐館這一點，既傳遞了這一家餐館的菜品更好之類的信息，這是信息方面的利好；但也意味著該餐館更加擁擠，説不定還需要排隊很長時間才能用餐，這是負外部性方面的壞處。

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