不求甚解學經濟-信息設計(番外1)-Basic Cheap Talk

Crawford & Sobel (1982)
Green & Stokey (2007)

基本設定

Sender-Reciever Game，無承諾 (由於沒有承諾能力，發送的信息可信性較低)；信息的傳遞是無成本的；信息不可驗證。

如果想要有價值的信息被傳遞，那麽

在這種情況下，發送者對於接收者行爲的偏好應該是狀態依賴的，否則無論在什麽世界狀態下，發送者都偏好接收者的同一個行爲，那麽發送者沒有任何激勵不發送同一種信息，那麽不會有任何有價值的信息被傳遞。狀態依賴的偏好例如：發送者的效用函數被設定爲接收者行爲與真實世界狀態之間偏離這一損失函數形式，那麽，只有當接收者的行爲與狀態相吻合時，發送者的效用才是高的；

進而，接收者也要有激勵針對(接收者所推測的)不同的世界狀態采取不同的行爲，否則，儘管發送者有激勵在不同的世界狀態發送不同的信號，但發送者知道接收者不會對自己所發送的不同的信號采取不同的行爲，發送者無法影響接收者的行爲，那麽也沒法傳遞任何有價值的信息。

最後，發送者希望接收者采取的行爲，和接收者自己認爲應該采取哪種行爲，不能是截然相反、完全對立的。即二者的利益具有一定程度的交曡，儘管不會完全重合。否則，傳遞有價值的信息，對於發送者來説就是有害的，發送者也不會有激勵傳遞有價值的信息。

根據 Cheap Talk 的定義

發送者和接收者的效用函數不可以直接地依賴於信號，但需要間接地(通過接收者的信念、從而行爲)依賴。發送者可以在一定程度上撒謊，并且撒謊不需要付出成本。

除了發送者所能發送的信號需要依賴於真實的世界狀態(只是説依賴，但不需要潛在信號可能空間與世界狀態空間之間有什麽關係，比如，真實世界狀態可以取“父親”或“母親”，但潛在信號可能空間為“1，2，3，4，5”，那麽只要對應於“母親”的數字和對應於“父親”的數字不完全重合，比如當真實狀態為“母親”時，各以1/4概率發送“1，3，4，5”、當“父親”時各以1/3概率發送“1，2，5”，那麽就算信號依賴於狀態了，儘管信號空間是幾個數字、與狀態空間沒什麽關係)外，不可以有任何額外的限制，例如，真實的世界狀態必須被包含在被傳遞的信號内之類的(這是 Disclosure Game 而不是 Cheap Talk)，是不行的。

發送者在選擇信號的時候，必須已經觀察到了真實的世界狀態、并且可以針對不同的真實世界狀態制定不同的信號政策；這些信號政策在不同的真實狀態之間不能具有通用性。這是爲了刻畫 Cheap Talk 的無承諾性。否則，如果發送者在選擇信號的時候自己也并不知道真實的世界狀態是什麽，因此其制定信號政策的時候，所能選擇的信號政策是機械性的，未來揭曉了真實狀態之後自動輸入到信號政策裏，然後自動輸出為信號實現傳遞給接收者，此時即使已經觀察到了真實世界狀態的發送者想操縱信號實現的生成也做不到，那麽這便成了有承諾性的 Bayesian Persuasion。

基本模型

狀態空間為 $\Theta=[0,1]$ 。自然(非參與人)選擇 $\theta\in\Theta$ ；

發送者與接收者對於世界狀態有個共同先驗 $F(\theta)$ 。

信息空間為 $M=[0,1]$ ，發送者觀察到真實的 $\theta$ ，來選擇信息 $m\in M$ ，并且無成本地傳遞給接收者； $m$ 并不直接影響發送者或接收者的效用，而只間接地通過影響接收者的信念、從而影響接收者的行爲、再影響發送者和接收者的效用。

行動空間為 $A=\mathbb{R}$ ，接收者觀察到發送者選擇的 $m$ ，更新自己關於世界狀態的新年，然後選擇 $\sigma\in A$ 。 $\sigma$ 同時影響發送者和接收者的效用。

偏好：

發送者 $U^{S}(\theta,\sigma)$

接收者 $U^{R}(\theta,\sigma)$

假設 $U^{i}(\theta,\sigma)$ 滿足：

關於 $\sigma$ 嚴格凹: $U_{\sigma\sigma}^{i}>0$
對於任何 $\theta$ 都是單峰的: $\forall\theta\in\Theta,\exists\sigma\in A,\text{such that}U^{i}_{\sigma}(\sigma,\theta)=0$
超模性： $U_{\sigma\theta}^{i}>0$

因此 $\tilde{\sigma}^{i}(\theta)=\arg\max_{\sigma}U^{i}(\sigma,\theta)$

例子：

$U^{S}=-(\theta+b-\sigma)^{2}$

$U^{R}=-(\theta-\sigma)^{2}$

從而 $\tilde{\sigma}^{R}=\mathbb{E}(\theta|m)$

$\tilde{\sigma}^{i}(\theta)$ 函數總是存在的，並且嚴格遞增。

假設 $\mu>_{\text{FOSD}}\mu^{\prime}$

則

$\arg\max_{\sigma}\mathbb{E}_{\mu}(u^{i}(\sigma,\theta))>\arg\max_{\sigma}\mathbb{E}_{\mu^{\prime}}(u^{i}(\sigma,\theta))$

【Cheap Talk 的無成本特性】

如果 $U^{i}$ 不直接依賴於 $M$ ，則為 Cheap Talk；
如果 $U^{i}$ 直接依賴於 $M$ ，則為 Signaling；

【Cheap Talk 的不可驗證特性】

如果要求 $M$ 依賴於真實世界狀態 $\theta$ ，則信息具有可驗證性，為 Disclosure Game。例如 $M(\theta)=\theta$ ，則表明只能發送真實狀態；
如果 $M$ 并不依賴於真實世界狀態 $\theta$ ，則為不可驗證的 Cheap Talk。

【Cheap Talk 的無承諾特性】

Bayesian Persuasion：發送者完全承諾；
Cheap Talk：發送者完全無承諾。

解概念：完美貝葉斯均衡

儘管原文中所寫解概念為更爲寬汎的“貝葉斯納什均衡”，那實際使用的是完美貝葉斯均衡的解概念。

**接收者只能觀察到信號實現，不能觀察到發送者所選擇的信號生成規則。**這一點使得 Cheap Talk 區別於 Bayesian Persuasion。

均衡類型: Babbling/Fully Revealing/Influential

至少 Babbling 這種均衡總會存在，因此完美貝葉斯均衡總會存在。

均衡特徵: 分割均衡 (不同的區間之間的信息有所差別，但同一個區間裏發送相同的信息)

均衡條件

$\forall \theta\in\Theta,\mu(\theta)=\arg\max_{m\in M}U^{S}(\alpha(m),\theta)$
$\forall m\in M,\alpha(m)=\arg\max_{\sigma\in A}U^{R}(\sigma,\theta)\beta(\theta|m)$
$\beta(\theta|m)$ 由先驗信念 $F(\theta)$ 結合 $\mu(\theta)$ 通過貝葉斯更新得到。

如果 $\lbrace \theta:\alpha^{\star}(\mu^{\star}(\theta))=\sigma\rbrace$ 具有嚴格為正的先驗概率，則稱策略 $(\mu^{\star},\alpha^{\star})$ 引致行動 $\sigma$ 。